Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Дифференциальное уровнение второго порядка y''=-sin²x
Мы имеем дифференциальное уравнение второго порядка:
\( y'' = -\sin^2(x) \)Для решения этого уравнения нам нужно дважды интегрировать правую часть уравнения по переменной \( x \).
Чтобы упростить интегрирование, воспользуемся тригонометрическим тождеством:
\[ \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \]Тогда интеграл примет вид:
\[ y' = \int -\frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx \] \[ y' = -\frac{1}{2} \int (1 - \cos(2x)) \, dx \] \[ y' = -\frac{1}{2} \left( \int 1 \, dx - \int \cos(2x) \, dx \right) \]Поскольку интеграл от константы \( 1 \) это \( x \), а интеграл от \( \cos(2x) \) это \( \frac{\sin(2x)}{2} \) с учетом коэффициента, получаем:
\[ y' = -\frac{1}{2} \left( x - \frac{\sin(2x)}{2} \right) + C_1 \] \[ y' = -\frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C_1 \]Интегрируем каждую из частей по отдельности:
\[ \int -\frac{x}{2} \, dx = -\frac{1}{2} \int x \, dx = -\frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} = -\frac{x^2}{4} \] \[ \int \frac{\sin(2x)}/4 \, dx = \frac{1}/4 \int \sin(2x) \, dx \]Интеграл от \( \sin(2x) \) это \( -\frac{\cos(2x)}{2} \), значит:
\[ \frac{1}/4 \int \sin(2x) \, dx = \frac{1}/4 \cdot \left( -\frac{\cos(2x)}{2} \right) = -\frac{\cos(2x)}{8} \] \[ \int C_1 \, dx = C_1 x \]Суммируем результаты:
\[ y = -\frac{x^2}/4 - \frac{\cos(2x)}{8} + C_1 x + C_2 \]где \( C_2 \) — произвольная постоянная интегрирования. Итак, общее решение данного дифференциального уравнения второго порядка:
\[ y = -\frac{x^2}/4 - \frac{\cos(2x)}{8} + C_1 x + C_2 \]Это и будет окончательное решение.