Дифференциальное уравнение Коши

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальные уравнения

Дано дифференциальное уравнение Коши:
x \cdot dy + \tan(y) \cdot dx = 0, \quad x_0 = 2, \, y_0 = \frac{\pi}{6}.

Решение:

1. Приведём уравнение к разделяющимся переменным:
   Перепишем уравнение:
   x \cdot dy = -\tan(y) \cdot dx.
   Разделим обе части на x \cdot \cos(y) (при x \neq 0 и \cos(y) \neq 0):
   \frac{dy}{\cos(y)} = -\frac{dx}{x}.

2. Интегрируем обе части:
   Левая часть:
   \int \frac{dy}{\cos(y)} = \int \sec(y) \, dy = \ln|\sec(y) + \tan(y)| + C_1.

Правая часть:
\int -\frac{dx}{x} = -\ln|x| + C_2.

Объединяя результаты, получаем:
\ln|\sec(y) + \tan(y)| = -\ln|x| + C.

3. Упростим выражение:
   Обозначим C = C_1 - C_2. Тогда:
   \ln|\sec(y) + \tan(y)| + \ln|x| = C.
   Объединим логарифмы:
   \ln|x (\sec(y) + \tan(y))| = C.
   Возведём обе части в степень e:
   |x (\sec(y) + \tan(y))| = e^C = C_0,
   где C_0 > 0 — произвольная положительная константа.

Итак, общее решение:
x (\sec(y) + \tan(y)) = \pm C_0.

4. Найдём частное решение с учётом начальных условий:
   Подставим x_0 = 2 и y_0 = \frac{\pi}{6}.
   Для y_0 = \frac{\pi}{6}:
   \sec\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{2}{\sqrt{3}}, \quad \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}.
   Тогда:
   \sec\left(\frac{\pi}{6}\right) + \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}.

Подставляем в общее решение:
2 \cdot \sqrt{3} = \pm C_0.
Отсюда:
C_0 = 2\sqrt{3}.

Частное решение:
x (\sec(y) + \tan(y)) = 2\sqrt{3}.

Ответ:

x (\sec(y) + \tan(y)) = 2\sqrt{3}.