Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных (Градиент, направление наискорейшего возрастания)

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных (Градиент, направление наискорейшего возрастания)

Формулировка задания:

Найти направление наискорейшего возрастания функции
 f(x, y) = x^2 - y^2 
в точке (-1,1).

Шаг 1: Определение градиента функции

Градиент функции — это вектор, который указывает направление наискорейшего возрастания функции. Он определяется как вектор частных производных:

 \nabla f(x, y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) 

Найдем частные производные функции  f(x, y) = x^2 - y^2  по  x  и  y .

Шаг 2: Нахождение частных производных

1. Частная производная по  x :

   Производная  x^2  по  x  равна  2x , а  -y^2  не зависит от  x , поэтому его производная равна 0.

    \frac{\partial f}{\partial x} = 2x 

2. Частная производная по  y :

   Производная  -y^2  по  y  равна  -2y , а  x^2  не зависит от  y , поэтому его производная равна 0.

    \frac{\partial f}{\partial y} = -2y 

Таким образом, градиент функции:

 \nabla f(x, y) = (2x, -2y) 

Шаг 3: Вычисление градиента в точке (-1,1)

Подставляем  x = -1  и  y = 1 :

 \nabla f(-1,1) = (2(-1), -2(1)) = (-2, -2) 

Шаг 4: Определение направления наискорейшего возрастания

Направление наискорейшего возрастания функции совпадает с направлением градиента. То есть, в точке (-1,1) функция возрастает в направлении вектора (-2, -2).

Чтобы записать это направление в виде единичного вектора (то есть вектора длины 1), найдем его норму:

 |\nabla f(-1,1)| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} 

Теперь нормируем вектор:

 \mathbf{e} = \left( \frac{-2}{2\sqrt{2}}, \frac{-2}{2\sqrt{2}} \right) = \left( \frac{-\sqrt{2}}{2}, \frac{-\sqrt{2}}{2} \right) 

Ответ:

Направление наискорейшего возрастания функции  f(x, y) = x^2 - y^2  в точке (-1,1) совпадает с направлением градиента:

 (-2, -2) 

В виде единичного вектора:

 \left( \frac{-\sqrt{2}}{2}, \frac{-\sqrt{2}}{2} \right) 

Это означает, что функция возрастает быстрее всего в направлении, противоположном вектору (1,1).