Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных (градиент)

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных (градиент)

Рассмотрим пункт 6:

Найти градиент функции
 f(x, y) = x^2 y + 3xy^2 
в точке (1,2).

Шаг 1: Определение градиента

Градиент функции  f(x, y)  — это вектор, состоящий из частных производных функции по переменным  x  и  y .

Градиент обозначается как  \nabla f(x, y)  и вычисляется по формуле:

 \nabla f(x, y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) 

То есть, нам нужно найти частные производные  \frac{\partial f}{\partial x}  и  \frac{\partial f}{\partial y} .

Шаг 2: Найдем частную производную по x

Частная производная по  x  означает, что мы дифференцируем функцию  f(x, y)  по переменной  x , считая  y  константой.

Функция дана:

 f(x, y) = x^2 y + 3xy^2 

Дифференцируем по  x :

1. Производная от  x^2 y :

   •  y  — это константа,
   • производная  x^2  равна  2x ,
   • значит,  \frac{d}{dx} (x^2 y) = 2xy .

2. Производная от  3xy^2 :

   •  3y^2  — это константа,
   • производная  x  равна  1 ,
   • значит,  \frac{d}{dx} (3xy^2) = 3y^2 .

Итого:

 \frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + 3y^2 

Шаг 3: Найдем частную производную по y

Теперь дифференцируем  f(x, y)  по  y , считая  x  константой.

Функция:

 f(x, y) = x^2 y + 3xy^2 

Дифференцируем по  y :

1. Производная от  x^2 y :

   •  x^2  — это константа,
   • производная  y  равна  1 ,
   • значит,  \frac{d}{dy} (x^2 y) = x^2 .

2. Производная от  3xy^2 :

   •  3x  — это константа,
   • производная  y^2  равна  2y ,
   • значит,  \frac{d}{dy} (3xy^2) = 6xy .

Итого:

 \frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 6xy 

Шаг 4: Подставляем точку (1,2)

Теперь подставляем  x = 1  и  y = 2  в найденные частные производные.

1. Для  \frac{\partial f}{\partial x} = 2xy + 3y^2 :

    \frac{\partial f}{\partial x} (1,2) = 2(1)(2) + 3(2)^2 = 4 + 12 = 16 

2. Для  \frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 6xy :

    \frac{\partial f}{\partial y} (1,2) = (1)^2 + 6(1)(2) = 1 + 12 = 13 

Шаг 5: Записываем ответ

Градиент в точке (1,2):

 \nabla f(1,2) = (16, 13) 

Это означает, что вектор  (16, 13)  указывает направление наискорейшего роста функции в данной точке.

Вывод

Мы нашли градиент функции  f(x, y)  и вычислили его в заданной точке. Градиент показывает, в каком направлении функция возрастает быстрее всего, а его длина характеризует скорость этого роста.