Дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

Пример 1:

Дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

Решение от преподавателя:

Пример 2:

Найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, удовлетворяющее заданным начальным условиям.

Решение от преподавателя:

Решение уравнения будем искать в виде y = e^rx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: 
r² +0 r + 9 = 0 
D=0² - 4*1*9=-36 


Корни характеристического уравнения: 
(комплексные корни): 
r₁ = 3i 
r₂ = - 3i 
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции: 


Общее решение однородного уравнения имеет вид: 

Рассмотрим правую часть: 
f(x) = 6*e^3*x 
Поиск частного решения. 
Уравнение имеет частное решение вида: 
y = Ae^3x 
Вычисляем производные: 
y' = 3Ae^3x 
y'' = 9Ae^3x 
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение: 
y'' + 9y = (9Ae^3x) + 9(Ae^3x) = 6e^3x 
или 
18Ae^3x = 6e^3x 
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений: 
1: 18A = 6 
Решая ее, находим: 
A = ¹/₃; 
Частное решение имеет вид: 
y=¹/₃e^3x 
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид: 

Найдем частное решение при условии: y(0) = 0, y'(0) = 0 
Поскольку y(0) = c₁, то получаем первое уравнение: 
c₁ = 0 
Находим первую производную: 
y' = -3c₁sin(3x)+3c₂cos(3x) 
Поскольку y'(0) = 3*c₂, то получаем второе уравнение: 
3c₂ = 0 
В итоге получаем систему из двух уравнений: 
c₁ = 0 
3c₂ = 0 
т.е.: 
c₁ = 0, c₂ = 0 
Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде:

у = 1/3*e^3*x