Дано дифференциальное уравнение Бернулли y′+5xe−x2y=2xex2y7. Чтобы свести это уравнение к линейному уравнению, необходимо сделать замену z=yk. Определить значение k.

Это задание по предмету "Дифференциальные уравнения", который является частью курса высшей математики.

Дано дифференциальное уравнение Бернулли: \[ y' + 5xe^{-x^2}y = 2xe^{x^2}y^7. \] Мы знаем, что уравнение Бернулли имеет общий вид: \[ y' + P(x)y = Q(x)y^n, \] где \( P(x) \) и \( Q(x) \) — функции от \( x \), а \( n \) — степень при \( y \).

Сравним данное уравнение с общим видом:

• \( P(x) = 5xe^{-x^2} \),
• \( Q(x) = 2xe^{x^2} \),
• \( n = 7 \).

Чтобы свести уравнение Бернулли к линейному уравнению, делается замена переменной \( z = y^k \). Давайте определим значение \( k \).

Замена переменной \( z = y^k \) должна свести исходное уравнение к линейному виду. Обычно \( k = 1 - n \), где \( n \) — степень при \( y \). Подставим \( n = 7 \) в формулу: \[ k = 1 - n = 1 - 7 = -6. \] Таким образом, для сведения данного уравнения Бернулли к линейному уравнению, необходимо сделать замену: \[ z = y^{-6}. \]

Теперь проверим правильность этого значения \( k \):

1. Подставим \( z = y^{-6} \): \[ y = z^{-1/6}. \]
2. Найдём производную \( y' \) исходя из \( z \) и его производной: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (z^{-1/6}) = -\frac{1}{6}z^{-7/6} \frac{dz}{dx}. \]
3. Подставим \( y \) и \( y' \) в исходное уравнение: \[ -\frac{1}{6}z^{-7/6} z' + 5xe^{-x^2} z^{-1/6} = 2xe^{x^2} (z^{-1/6})^7. \]
4. Упростим: \[ -\frac{1}{6} z^{-7/6} z' + 5xe^{-x^2} z^{-1/6} = 2xe^{x^2} z^{-7/6}. \]
5. Умножим всё на \( -6z^{7/6} \) для приведения к линейной форме: \[ z' - 30xe^{-x^2} = -12xe^{x^2}. \]

Итак, подтверждается, что при значении \( k = -6 \) исходное уравнение сводится к линейному уравнению.

Ответ: \( k = -6 \).