Дано дифференциальное уравнение. Найти общее решение

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальные уравнения

Дано дифференциальное уравнение:
x(y' - y) = (1 + 2x^2)e^x.

Найдем общее решение.

Шаг 1. Преобразуем уравнение

Раскроем скобки в левой части:
xy' - xy = (1 + 2x^2)e^x.

Разделим обе части на x (при x \neq 0):
y' - y = \frac{(1 + 2x^2)e^x}{x}.

Шаг 2. Запишем общее уравнение

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка:
y' - y = \frac{(1 + 2x^2)e^x}{x}.

Общая форма уравнения:
y' + p(x)y = q(x).

В данном случае:
p(x) = -1, \quad q(x) = \frac{(1 + 2x^2)e^x}{x}.

Шаг 3. Найдем интегрирующий множитель

Интегрирующий множитель \mu(x) для линейного уравнения определяется как:
\mu(x) = e^{\int p(x)dx}.

Подставим p(x) = -1:
\mu(x) = e^{\int -1 dx} = e^{-x}.

Шаг 4. Умножим уравнение на интегрирующий множитель

Умножим обе части уравнения на e^{-x}:
e^{-x}y' - e^{-x}y = e^{-x} \cdot \frac{(1 + 2x^2)e^x}{x}.

Левая часть превращается в производную произведения:
\frac{d}{dx}(e^{-x}y) = \frac{1 + 2x^2}{x}.

Шаг 5. Интегрируем обе части

Интегрируем левую и правую части по x:
e^{-x}y = \int \frac{1 + 2x^2}{x} dx.

Разделим дробь:
\int \frac{1 + 2x^2}{x} dx = \int \frac{1}{x} dx + \int 2x dx.

Вычислим интегралы:
\int \frac{1}{x} dx = \ln|x|, \quad \int 2x dx = x^2.

Таким образом:
\int \frac{1 + 2x^2}{x} dx = \ln|x| + x^2 + C,
где C — произвольная константа интегрирования.

Шаг 6. Запишем решение

Получаем:
e^{-x}y = \ln|x| + x^2 + C.

Умножим на e^x:
y = e^x(\ln|x| + x^2 + C).

Ответ:

Общее решение уравнения:
y = e^x(\ln|x| + x^2 + C).