Дано дифференциальное уравнение

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения

Дано дифференциальное уравнение:
(2x - y^2)y' = 2y.

Рассмотрим шаги для его решения:

1. Приведение уравнения к стандартному виду.

Перепишем уравнение:
y' = \frac{2y}{2x - y^2}.

Это уравнение имеет вид, который можно решить методом разделения переменных.

2. Разделение переменных.

Перепишем уравнение так, чтобы переменные (x) и (y) были разделены:
\frac{2x - y^2}{2y} \, dy = dx.

3. Упрощение выражения.

Разделим левую часть дроби:
\frac{2x}{2y} - \frac{y^2}{2y} \, dy = dx.
Упростим:
\left( \frac{x}{y} - \frac{y}{2} \right) \, dy = dx.

4. Интегрирование.

Интегрируем обе стороны уравнения:
\int \left( \frac{x}{y} - \frac{y}{2} \right) \, dy = \int dx.

Разделим интеграл:

\int \frac{x}{y} \, dy - \int \frac{y}{2} \, dy = \int dx.

Рассмотрим интегралы по отдельности:

1. Для первого интеграла:
   \int \frac{x}{y} \, dy = x \int \frac{1}{y} \, dy = x \ln |y|.

2. Для второго интеграла:
   \int \frac{y}{2} \, dy = \frac{1}{2} \int y \, dy = \frac{1}{2} \cdot \frac{y^2}{2} = \frac{y^2}{4}.

3. Для правой части:
   \int dx = x.

5. Запись общего решения.

Соберем все части вместе:
x \ln |y| - \frac{y^2}{4} = x + C,
где (C) — произвольная константа интегрирования.

Это общее решение данного дифференциального уравнения.