Cреди уравнений первого порядка указать уравнения с разделяющимися переменными

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения

Уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде:

 M(x)dx = N(y)dy 

Рассмотрим каждое уравнение:

1.  \sqrt{x} y dx = e^x (y^2 + 1) dy 

   Перепишем:
    \frac{\sqrt{x}}{e^x} dx = \frac{y^2 + 1}{y} dy 
   Это уравнение имеет вид с разделяющимися переменными.

2.  xy' - 2y = 3x^4 

   Перепишем в виде дифференциального уравнения:
    xy' = 3x^4 + 2y 
   или
    y' = \frac{3x^4 + 2y}{x} 
   Здесь переменные не удается разделить, значит, уравнение не является уравнением с разделяющимися переменными.

3.  (x^2 + 1)y' + 2xy = 0 

   Перепишем:
    (x^2 + 1) dy = -2xy dx 
    \frac{dy}{y} = \frac{-2x}{x^2 + 1} dx 
   Переменные разделяются, значит, это уравнение с разделяющимися переменными.

4.  y' + xy = \sin x 

   Перепишем:
    y' = -xy + \sin x 
   Здесь переменные не удается разделить, значит, уравнение не является уравнением с разделяющимися переменными.

5.  (x^2 - y^2) dy + xy dx = 0 

   Перепишем:
    \frac{dy}{dx} = -\frac{xy}{x^2 - y^2} 
   Переменные не удается разделить, значит, уравнение не является уравнением с разделяющимися переменными.

Ответ: Уравнения с разделяющимися переменными — 1 и 3.