Cреди уравнений первого порядка указать однородные

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения

Однородным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида:

 M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 

где функции  M(x, y)  и  N(x, y)  являются однородными функциями одной и той же степени.

Рассмотрим предложенные уравнения:

1.  (y^2 - 2xy)dx + x^2dy = 0 

   • Функции  M(x, y) = y^2 - 2xy  и  N(x, y) = x^2 .
   • Их степени:  M(x, y)  имеет степень 2,  N(x, y)  имеет степень 2.
   • Следовательно, уравнение однородное.

2.  (x^2 - 1)y' + 2xy^2 = 0 

   • Представим в стандартном виде:  y' = \frac{-2xy^2}{x^2 - 1} .
   • В числителе  -2xy^2  имеет степень 3, а в знаменателе  x^2 - 1  не является однородной функцией.
   • Следовательно, уравнение неоднородное.

3.  (x^2 + y^2)y' = 2xy 

   • Представим в стандартном виде:  y' = \frac{2xy}{x^2 + y^2} .
   • В числителе  2xy  имеет степень 2, в знаменателе  x^2 + y^2  также степень 2.
   • Следовательно, уравнение однородное.

4.  xy' + y = y^2 

   • Представим в стандартном виде:  y' = \frac{y^2 - y}{x} .
   • В числителе  y^2 - y  степени неоднородны (2 и 1), а в знаменателе  x  имеет степень 1.
   • Следовательно, уравнение неоднородное.

5.  y' - y = 2x - 3 

   • Представим в стандартном виде:  y' = y + 2x - 3 .
   • Правая часть содержит слагаемые разной степени ( y  — 1,  2x  — 1,  -3  — 0).
   • Следовательно, уравнение неоднородное.

Ответ:

Однородные уравнения: 1 и 3.