Cреди уравнений первого порядка указать линейные

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид:

 a_1(x) y' + a_0(x) y = f(x) 

где коэффициенты a_1(x) и a_0(x) зависят только от x, а функция f(x) является свободным членом.

Рассмотрим предложенные уравнения:

1. (y^2 - 2xy)dx + x^2 dy = 0

   • Это уравнение не является линейным, так как содержит y^2.

2. y' + 3x^2 y = x

   • Это линейное уравнение вида y' + p(x)y = q(x), где p(x) = 3x^2, q(x) = x.

3. y' + 2xy = xy^3

   • Это нелинейное уравнение, так как содержит y^3.

4. (x^2 + y^2)y' = 2xy

   • После приведения к стандартному виду y' = \frac{2xy}{x^2 + y^2}, видим, что оно нелинейное, так как знаменатель зависит от y.

5. y' + e^x y = e^{2x}

   • Это линейное уравнение вида y' + p(x)y = q(x), где p(x) = e^x, q(x) = e^{2x}.

Ответ: Линейные уравнения: 2 и 5.