Что такое линейное дифференциальное уравнение второго порядка?

Предмет: Математика
Раздел: Дифференциальные уравнения (в частности, линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами)

На изображении рассматриваются линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Такие уравнения широко используются в математике, физике, инженерии и других науках для описания процессов, зависящих от производных (например, колебания, электрические цепи, динамика тел и т.д.).

📘 Подробное объяснение темы:

🔹 Что такое линейное дифференциальное уравнение второго порядка?

Это уравнение, содержащее вторую производную неизвестной функции и линейное по этой функции и её производным. Если коэффициенты при производных — постоянные числа, то уравнение называется с постоянными коэффициентами.

🔹 Виды уравнений:

1. Однородное уравнение:

Общий вид:

y'' + py' + qy = 0

где p и q — постоянные коэффициенты (числа),
y — искомая функция от переменной x,
y', y'' — первая и вторая производные функции y.

🔹 Такое уравнение называется однородным, потому что правая часть равна нулю.

2. Неоднородное уравнение:

Общий вид:

y'' + py' + qy = f(x)

где f(x) — заданная функция, не равная нулю.

🔹 Такое уравнение называется неоднородным, потому что в правой части стоит функция f(x), отличная от нуля.

🧠 Важное наблюдение:

"Какая мысль приходит в голову после беглого взгляда? Неоднородное уравнение кажется сложнее. На этот раз первое впечатление не подводит!"

✅ Действительно, неоднородные уравнения решаются в два этапа:

1. Решается соответствующее однородное уравнение (называется общим решением однородного уравнения).
2. Находится частное решение неоднородного уравнения.
3. Общее решение неоднородного уравнения — это сумма общего решения однородного и частного решения неоднородного:

y_{\text{общ}} = y_{\text{одн}} + y_{\text{част}}

📌 Пример для наглядности:

Рассмотрим уравнение:

y'' - 3y' + 2y = e^x

Это неоднородное уравнение, потому что правая часть f(x) = e^x \ne 0.

1. Сначала решим однородное уравнение:

y'' - 3y' + 2y = 0

Это делается с помощью характеристического уравнения:

r^2 - 3r + 2 = 0
Решения: r_1 = 1, r_2 = 2

Общее решение однородного:

y_{\text{одн}} = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x}

2. Найдём частное решение неоднородного (например, методом неопределённых коэффициентов). Предположим:

y_{\text{част}} = Ax e^x

(почему Ax e^x? Потому что e^x уже входит в y_{\text{одн}} — нужно домножить на x)

Подставим в уравнение и найдём A.

3. Общее решение:

y = C_1 e^{x} + C_2 e^{2x} + Ax e^x

Если нужно, могу подробно решить пример выше.