Чему равно решение системы дифференциальных уравнений с начальными условиями

Предмет задания — дифференциальные уравнения (в рамках предмета — математика или математический анализ).

Раздел задания — решении системы дифференциальных уравнений с начальными условиями.

Итак, решим систему дифференциальных уравнений с начальными условиями: \[ \begin{cases} x' = y \\ y' = -x \end{cases} \] начальные условия \( x(0) = 3 \) и \( y(0) = 3 \). Для решения системы будем использовать метод характеристических уравнений.

Начнем с поиска общего решения.

Предположим, что \( x(t) = A\cos(kt) + B\sin(kt) \) и \( y(t) = C\cos(kt) + D\sin(kt) \), где \(A\), \(B\), \(C\), и \(D\) — константы, а \(k\) — частота.

Подставим \( x(t) \) и \( y(t) \) в систему. Поскольку \( x' = y \) и \( y' = -x \), получаем: \[ \begin{cases} \frac{d}{dt}(A\cos(kt) + B\sin(kt)) = C\cos(kt) + D\sin(kt) \\ \frac{d}{dt}(C\cos(kt) + D\sin(kt)) = - (A\cos(kt) + B\sin(kt)) \end{cases} \]

Выполним дифференцирование: \[ \begin{cases} -Ak\sin(kt) + Bk\cos(kt) = C\cos(kt) + D\sin(kt) \\ -Ck\sin(kt) + Dk\cos(kt) = -A\cos(kt) - B\sin(kt) \end{cases} \]

Сравнивая коэффициенты при \(\sin(kt)\) и \(\cos(kt)\), получаем систему уравнений: \[ \begin{cases} -Ak = D \\ Bk = C \\ Bk = -A \\ -Dk = -B \end{cases} \]

Решая систему, получаем, что \( D = -Ak \) и \( C = Bk \). Теперь найдем \(k\). Система даёт \(k = 1\), и тогда решения имеют вид: \[ \begin{cases} x(t) = A\cos(t) + B\sin(t) \\ y(t) = B\cos(t) - A\sin(t) \end{cases} \]

Имеем начальные условия: \( x(0) = 3 \) и \( y(0) = 3 \). Подставим их в уравнения: \[ \begin{cases} 3 = A\cos(0) + B\sin(0) \rightarrow A = 3 \\ 3 = B\cos(0) - A\sin(0) \rightarrow B = 3 \end{cases} \]

Таким образом, окончательные решения: \[ \begin{cases} x(t) = 3\cos(t) + 3\sin(t) \\ y(t) = 3\cos(t) - 3\sin(t) \end{cases} \]

Теперь проверим, есть ли среди вариантов ответа предложенное решение. Один из подходящих вариантов может быть \( x = 3e^{-t} \), если учесть, что \( e^{-t} = e^{-t}\). Однако в данном случае это не совсем точное соответствие, потому как наше решение \( 3\cos(t) + 3\sin(t) \) в какой-то из переменных. Ответ: \[ \boxed{\begin{cases} x(t) = 3\cos(t) + 3\sin(t) \\ y(t) = 3\cos(t) - 3\sin(t) \end{cases}} \]