Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Чему равно максимальное число линейно независимых частных решений уравнения
Условие:
Максимальное число линейно независимых частных решений уравнения равно
Решение:
Предмет: математика
Раздел предмета: дифференциальные уравнения
Задание:
Найти максимальное число линейно независимых частных решений дифференциального уравнения \(y''' - 2y' = 0\).
Решение:
Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением третьего порядка: \[ y''' - 2y' = 0 \]
Для решения такого уравнения сначала найдем его характеристическое уравнение. Чтобы это сделать, подставим \(y = e^{\lambda x}\), где \(\lambda\) — параметр. Положим:
\[ y = e^{\lambda x} \] \[ y' = \lambda e^{\lambda x} \] \[ y'' = \lambda^2 e^{\lambda x} \] \[ y''' = \lambda^3 e^{\lambda x} \]Подставим эти выражения в исходное уравнение:
\[ (\lambda^3 e^{\lambda x}) - 2(\lambda e^{\lambda x}) = 0 \] \[ e^{\lambda x} (\lambda^3 - 2\lambda) = 0 \]Так как \(e^{\lambda x} \neq 0\) для всех значений \(x\), то характеристическое уравнение примет вид:
\[ \lambda^3 - 2\lambda = 0 \] \[ \lambda(\lambda^2 - 2) = 0 \]Решим уравнение:
\[ \lambda = 0 \] \[ \lambda^2 - 2 = 0 \] \[ \lambda^2 = 2 \] \[ \lambda = \pm \sqrt{2} \]Таким образом, у нас есть три различных корня характеристического уравнения:
\[ \lambda_1 = 0, \lambda_2 = \sqrt{2}, \lambda_3 = -\sqrt{2} \]Так как у нас есть три различных (линейно независимых) корня, они определяют три различных решения:
\[ y_1 = e^{0 \cdot x} = 1 \] \[ y_2 = e^{\sqrt{2} x} \] \[ y_3 = e^{-\sqrt{2} x} \]Максимальное число линейно независимых частных решений у этого уравнения равно числу различных корней характеристического уравнения, то есть:
\[ \boxed{3} \]
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку