Частным решением дифференциального уравнения является функция

Задание относится к предмету "математика" и разделу "дифференциальные уравнения". Мы имеем дифференциальное уравнение второго порядка: y'' + 4y' + 4y = 0.

Шаг 1: Характеристическое уравнение

Для решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, мы сначала составляем характеристическое уравнение. Характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения имеет вид: r^2 + 4r + 4 = 0.

Шаг 2: Решение характеристического уравнения

Решим характеристическое уравнение: r^2 + 4r + 4 = 0. Это квадратное уравнение, и его можно решить с помощью формулы для корней квадратного уравнения: r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, где a = 1, b = 4, и c = 4. Подставим значения: r = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}, r = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2}, r = \frac{-4 \pm \sqrt{0}}{2}, r = \frac{-4}{2}, r = -2. Мы получили один корень с кратностью 2 (поскольку дискриминант равен нулю).

Шаг 3: Общее решение дифференциального уравнения

Поскольку у нас один корень r = -2 кратности 2, то общее решение дифференциального уравнения имеет вид: y(t) = (C_1 + C_2 t)e^{-2t}, где C_1 и C_2 – произвольные постоянные.

Частное решение

Частное решение дифференциального уравнения будет зависеть от конкретных начальных условий или крайних условий, которые заданы в задаче. В данной формулировке задачи таких условий нет, что означает, что общее решение и есть ответ.

Ответ

Частным решением дифференциального уравнения y'' + 4y' + 4y = 0 является функция вида: y(t) = (C_1 + C_2 t)e^{-2t}. При наличии дополнительных начальных условий, можно определить конкретные значения для C_1 и C_2.