Частным решением дифференциального уравнения является функция

Задание относится к предмету "математика" и разделу "дифференциальные уравнения". Мы имеем дифференциальное уравнение второго порядка: $y^{″}+4y^{\prime }+4y=0.$

Шаг 1: Характеристическое уравнение

Для решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, мы сначала составляем характеристическое уравнение. Характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения имеет вид: $r^2+4r+4=0.$

Шаг 2: Решение характеристического уравнения

Решим характеристическое уравнение: $r^2+4r+4=0.$ Это квадратное уравнение, и его можно решить с помощью формулы для корней квадратного уравнения: $r=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a},$ где $a=1$, $b=4$, и $c=4$. Подставим значения: $r=\frac{-4\pm \sqrt{4^2-4\cdot 1\cdot 4}}{2\cdot 1},$ $r=\frac{-4\pm \sqrt{16-16}}{2},$ $r=\frac{-4\pm \sqrt{0}}{2},$ $r=\frac{-4}{2},$ $r=-2.$ Мы получили один корень с кратностью 2 (поскольку дискриминант равен нулю).

Шаг 3: Общее решение дифференциального уравнения

Поскольку у нас один корень $r=-2$ кратности 2, то общее решение дифференциального уравнения имеет вид: $y(t)=(C_1+C_{2}t)e^{-2t},$ где $C_1$ и $C_2$ – произвольные постоянные.

Частное решение

Частное решение дифференциального уравнения будет зависеть от конкретных начальных условий или крайних условий, которые заданы в задаче. В данной формулировке задачи таких условий нет, что означает, что общее решение и есть ответ.

Ответ

Частным решением дифференциального уравнения $y^{″}+4y^{\prime }+4y=0$ является функция вида: $y(t)=(C_1+C_{2}t)e^{-2t}.$ При наличии дополнительных начальных условий, можно определить конкретные значения для $C_1$ и $C_2$.