Частным решением дифференциального уравнения является функция

Определение предмета

Предмет: Математика

Раздел: Дифференциальные уравнения

Решение дифференциального уравнения

Дано дифференциальное уравнение: \[ y'' - 9y' = 0 \]

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Чтобы найти его общее решение, следуем следующим шагам:

1. Замена переменных: Введем новую переменную: \[ z = y' \] Тогда уравнение примет вид: \[ z' - 9z = 0 \]
2. Решение для \( z \): Это уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Решим его, используя метод разделения переменных. Перепишем уравнение: \[ \frac{dz}{z} = 9dx \] Интегрируем обе части: \[ \int \frac{1}{z} dz = \int 9 dx \] \[ \ln|z| = 9x + C_1 \] Преобразуем это уравнение в экспоненциальную форму: \[ z = y' = e^{9x + C_1} \] Пусть константа \( e^{C_1} = C \), тогда: \[ y' = Ce^{9x} \]
3. Получение \( y \): Теперь найдем \( y \) интегрируя \( y' \): \[ y = \int Ce^{9x} dx \] \[ y = \frac{C}{9} e^{9x} + C_2 \] Таким образом, общее решение уравнения: \[ y = \frac{C_1}{9} e^{9x} + C_2 \]

Итак, функция \( y = \frac{C_1}{9} e^{9x} + C_2 \) является частным решением дифференциального уравнения \( y'' - 9y' = 0 \).