Частные производные

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (Частные производные)

Рассмотрим пункт 2, в котором требуется вычислить частные производные функции:

 f(x, y) = \ln(x^2 + y^2) 

Шаг 1: Определение частных производных

Частная производная функции по переменной означает нахождение производной, рассматривая одну переменную как переменную, а остальные — как константы.

Нам нужно найти:

1.  \frac{\partial f}{\partial x}  — частную производную по  x .
2.  \frac{\partial f}{\partial y}  — частную производную по  y .

Шаг 2: Вычисление  \frac{\partial f}{\partial x} 

Функция представлена в виде натурального логарифма:
 f(x, y) = \ln(x^2 + y^2) 

Используем правило дифференцирования логарифма:
 \frac{d}{dx} \ln u = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} 

Здесь  u = x^2 + y^2 , поэтому:
 \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot \frac{\partial}{\partial x} (x^2 + y^2) 

Так как  y^2  является константой при дифференцировании по  x , производная  x^2  равна:
 \frac{d}{dx} x^2 = 2x 

Следовательно:
 \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2x}{x^2 + y^2} 

Шаг 3: Вычисление  \frac{\partial f}{\partial y} 

Аналогично, найдем производную по  y :
 \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot \frac{\partial}{\partial y} (x^2 + y^2) 

Так как  x^2  является константой при дифференцировании по  y , производная  y^2  равна:
 \frac{d}{dy} y^2 = 2y 

Следовательно:
 \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2y}{x^2 + y^2} 

Ответ:

 \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2x}{x^2 + y^2} 
 \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2y}{x^2 + y^2} 

Таким образом, мы нашли частные производные функции  f(x, y)  по  x  и  y .