Частное решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид

Этот вопрос относится к математике, а именно к разделу дифференциальных уравнений.

Мы имеем неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка: \( y'' - 3y' - 4y = xe^x \)

Задача состоит в нахождении частного решения этого уравнения. Начнем с поиска общего решения для соответствующего однородного уравнения: \( y'' - 3y' - 4y = 0 \)

Характеристическое уравнение для однородного уравнения выглядит так: \( r^2 - 3r - 4 = 0 \)

Решим его: \( r^2 - 3r - 4 = (r - 4)(r + 1) = 0 \)

Корни характеристического уравнения будут: \( r_1 = 4 \) и \( r_2 = -1 \)

Таким образом, общее решение однородного уравнения: \( y_c = C_1e^{4x} + C_2e^{-x} \)

Теперь найдем частное решение для неоднородного уравнения, используя метод неопределённых коэффициентов. Поскольку правая часть уравнения \( xe^x \) имеет вид, сочетающий многочлен и экспоненту, предполагаем форму частного решения: \( y_p = (Ax + B)e^x \)

Найдем первую и вторую производные \( y_p \):

• \( y_p' = (A + Ax + B)e^x = (A + (A + B)x)e^x \)
• \( y_p'' = (2A + Ax + (A + B))e^x = (A + B + Ax + 2A)e^x \)

Подставим функцию \( y_p \) и её производные в исходное уравнение:

\([2A + 2Ax + A + B - 3A - 3Ax - 3B - 4(Ax + B)]e^x = xe^x \)

Упростим уравнение: \((2A - 3B - 4B + (2A - 3A - 4Ax))e^x = xe^x \)

Приравняем коэффициенты:

1. для коэффициента при \(e^x\): \(2A - 7B = 0 \) и \(2A = 7B \)
2. для коэффициента при \(xe^x\): \(-2A = 1\) и тогда \(A = -1/2 \)

Теперь, зная \( A \), найдём \(B\): \(B = -1/7 \)

Итак, частное решение: \( y_p = \left(-\frac{1}{2}x - \frac{1}{7}\right)e^x \)

Теперь осталось выбрать правильный вариант частного решения из предложенных: \( y = e^x (a + bx) \)

Здесь \(a = -1/7\), \(b = -1/2 \), и это соответствует первому варианту ответа: \( y = e^x(a + bx) \)

Правильный ответ: \(\boxed{1}\).