Частное и отдельное решение ДУ

Данное задание относится к предмету "Дифференциальные уравнения", раздел "Решение дифференциальных уравнений первого порядка". Нам необходимо найти частное решение дифференциального уравнения первого порядка, которое задано следующим образом:

y' = y * sqrt(y)

Это обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, которое можно решить, разделяя переменные. Запишем уравнение в виде:

dy/dx = y * sqrt(y)

Для того чтобы решить это уравнение, разделим переменные, т.е. переменные y и x находятся по разные стороны от равенства. Мы можем записать это так:

dy / (y * sqrt(y)) = dx

Теперь интегрируем обе стороны:

∫ (1 / (y * sqrt(y))) dy = ∫ dx

Упростим первую часть интеграла:

1 / (y * sqrt(y)) = y^(-3/2)

Теперь интегрируем:

∫ y^(-3/2) dy = ∫ dx

Результат интегрирования:

-2 * y^(-1/2) = x + C

где C — произвольная постоянная интегрирования.

Чтобы упростить выражение:

-2 / sqrt(y) = x + C

Перепишем это выражение в стандартной форме:

sqrt(y) = -2 / (x + C)

Теперь возведем обе части в квадрат, чтобы выразить y:

y = 4 / (x + C)^2

Это уравнение является общим решением данного дифференциального уравнения. В зависимости от специфических начальных условий можно найти частное решение, подставляя известные значения. Например, если начальное условие y(x_0) = y_0 известно, его можно использовать для нахождения конкретного значения C.