Асимптотические методы и приближенные методы

Предмет: Дифференциальные уравнения.

Раздел: Асимптотические методы и приближенные методы.

Здесь представлена конкретная задача, основанная на линейном дифференциальном уравнении первого порядка вида: \[ \mu \frac{dy}{dt} = ay + b, \] где \( a > 0 \), \( b < 0 \), и \(\mu > 0\) представляет собой малый параметр.

Шаги решения:

1. Преобразуем уравнение для приведения его к более стандартной форме.

Разделим обе части уравнения на \(\mu\): \[ \frac{dy}{dt} = \frac{a}{\mu}y + \frac{b}{\mu}. \] Это типичное линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

Исследование задачи при малом \(\mu\):

Параметр \(\mu\) является малым, что позволяет предположить, что решение уравнения будет содержать характерные временные шкалы с быстрыми и медленными изменениями. Рассмотрим поведение системы с использованием общепринятых методик.

1. Анализ стационарного решения.

Для стационарного решения \(\frac{dy}{dt} = 0\). Тогда уравнение принимает вид: \[ 0 = \frac{a}{\mu}y_{\text{ст}} + \frac{b}{\mu}. \] Решая это уравнение относительно \(y_{\text{ст}}\), получаем: \[ y_{\text{ст}} = -\frac{b}{a}. \] Это значение будет показывать стационарное состояние системы, к которому решение будет стремиться при больших значениях \(t\).

2. Решение общего уравнения.

Общее решение однородного уравнения \(\frac{dy_{\text{одн}}}{dt} = \frac{a}{\mu} y_{\text{одн}}\) имеет вид: \[ y_{\text{одн}}(t) = C e^{\frac{a}{\mu}t}, \] где \(C\) — произвольная постоянная, которая определяется начальными условиями.

Теперь найдём общее решение полного уравнения, используя метод вариации произвольной постоянной. Частное решение примем равным: \[ y_{\text{част}}(t) = -\frac{b}{a}. \] Таким образом, полное решение будет иметь вид: \[ y(t) = C e^{\frac{a}{\mu}t} - \frac{b}{a}. \]

Определим константу \(C\) по начальному условию \(y(0) = y_0\): \[ y_0 = C - \frac{b}{a}. \] Отсюда: \[ C = y_0 + \frac{b}{a}. \] Подставляем это значение в общее решение: \[ y(t) = \left( y_0 + \frac{b}{a} \right)e^{\frac{a}{\mu}t} - \frac{b}{a}. \]

3. Ассимптотический анализ.

Так как \(\mu\) — маленькая величина, можно ожидать быстрое экспоненциальное поведение в начале. С увеличением времени экспонента быстро затухает, и решение стремится к стационарному состоянию \(y_{\text{ст}} = -\frac{b}{a}\).

4. Графическое исследование.

Теперь рассмотрим качественную картину для функции \(y(t)\). При \(t = 0\) значение \(y(t)\) равно \(y_0\). Далее, при малых значениях \(\mu\), функция \(y(t)\) экспоненциально быстро (на масштабе порядка \(t \sim \frac{\mu}{a}\)) приближается к стационарному значению \( -\frac{b}{a} \). Графическое исследование должно показать этот экспоненциальный спад с быстрым переходом от начального значения к стационарному.

Таким образом, мы провели полное аналитическое решение задачи и дали качественное описание поведения решения на графике.