Записать расчетную формулу метода секущих для нахождения корня уравнения

Определение предмета и раздела задания

Предмет: Математика. Раздел: Численные методы (или численные методы решения уравнений).

Задание

Задача просит использовать метод секущих для нахождения корня уравнения: \[ \cos(x) - 3x - 3 = 0 \]

Задача также просит указать расчетную формулу метода секущих, выбрать стартовые точки и описать критерий окончания итераций.

1. Формулировка метода секущих

Метод секущих — это численный метод для нахождения корня нелинейного уравнения \( f(x) = 0 \). Этот метод строится на приближении функции линейной секущей и последующем пересечении этой секущей с осью абсцисс (осью \(x\)).

Расчетная формула метода секущих выглядит следующим образом: \[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)(x_n - x_{n-1})}{f(x_n) - f(x_{n-1})} \]

Где:

• \( x_n \) и \( x_{n-1} \) — это два предыдущих приближения корня.
• \( f(x) \) — функция, для которой ищем корень.

Этот метод строится схожим образом с методами Ньютона, но не требует нахождения производной функции.

2. Применение метода к уравнению \( \cos(x) - 3x - 3 = 0 \)

В нашем случае: \[ f(x) = \cos(x) - 3x - 3 \]

Таким образом, наша расчетная формула для метода секущих становится такой: \[ x_{n+1} = x_n - \frac{(\cos(x_n) - 3x_n - 3)(x_n - x_{n-1})}{(\cos(x_n) - 3x_n - 3) - (\cos(x_{n-1}) - 3x_{n-1} - 3)} \]

3. Стартовые точки

Для метода секущих необходимо задать два исходных приближения \( x_0 \) и \( x_1 \). Эти точки должны быть выбраны таким образом, чтобы в их окрестности предполагалось наличие корня. Для примера рассмотрим приближения \( x_0 = 2 \) и \( x_1 = 3 \), поскольку, исходя из графического анализа функции \( f(x) = \cos(x) - 3x - 3 \), корень предположительно находится между этими значениями.

4. Критерий окончания итераций

Поскольку метод итерационный, нам нужно задать критерий прекращения расчетов. Критерии могут быть разными, и выбор зависит от того, насколько точное решение требуется. Обычно используют следующие критерии:

• Разность между двумя подряд идущими приближениями \( |x_{n+1} - x_n| \) становится меньше заданного порога \( \varepsilon \).
• Значение функции \( |f(x_{n+1})| \) становится меньше заданного порога \( \varepsilon \).

Резюме

1. Уравнение для нахождения корня: \( \cos(x) - 3x - 3 = 0 \).
2. Формула метода секущих: \[ x_{n+1} = x_n - \frac{(\cos(x_n) - 3x_n - 3)(x_n - x_{n-1})}{(\cos(x_n) - 3x_n - 3) - (\cos(x_{n-1}) - 3x_{n-1} - 3)} \]
3. Стартовые точки можно выбрать, например, \( x_0 = 2 \) и \( x_1 = 3 \).
4. Критерий остановки итераций: допустимо завершить расчеты, если \( |x_{n+1} - x_n| < \varepsilon \) или \( |f(x_{n+1})| < \varepsilon \), где \( \varepsilon \) — малое значение, например, \( 10^{-5} \).

Типичное значение \( \varepsilon \) — это что-то маленькое, например, \( \varepsilon = 10^{-5} \) или даже меньше, в зависимости от требуемой точности.