Записать расчетную формулу метода ложного положения. Указать точку ложно положения для нахождения положительного корня уравнения

Задание относится к предмету математика, раздел численные методы либо частично к теме методы нахождения корней уравнений.

1. Введение в метод ложного положения

Метод ложного положения (или метод хорд) — это численный метод для нахождения приближенного корня нелинейного уравнения \( f(x) = 0 \). Основная идея заключается в том, что, зная два начальных приближения \(a\) и \(b\), между которыми функция меняет знак (то есть \(f(a)\) и \(f(b)\) имеют разные знаки), мы проводим прямую через точки \((a, f(a))\) и \((b, f(b))\) и ищем пересечение этой прямой с осью абсцисс, то есть находим точку \(x_{\text{false}}\). Эта точка является новым приближением к корню, которое затем используется для дальнейших итераций.

2. Исходное уравнение

Дано нелинейное уравнение: \[ 2^x = 2 - x^2 \] Перепишем его в виде: \[ f(x) = 2^x - (2 - x^2) = 0 \] Теперь у нас есть функция \(f(x)\), корень которой мы будем искать с помощью метода ложного положения.

3. Метод ложного положения: расчетная формула

Допустим, у нас есть два начальных приближения \(a\) и \(b\) такие, что \(f(a) \cdot f(b) < 0\) (то есть значения функции на этих точках имеют противоположные знаки). Тогда расчетную формулу для нахождения новой точки \(x_{\text{false}}\) можно записать как: \[ x_{\text{false}} = \frac{a \cdot f(b) - b \cdot f(a)}{f(b) - f(a)} \]

4. Нахождение двух точек для итераций

Теперь для нахождения положительного корня нужно выбрать \(a\) и \(b\), чтобы выполнить условие \(f(a) \cdot f(b) < 0\). Попробуем рассмотреть примеры точек:

• Возьмем \(a = 0\), тогда: \[ f(0) = 2^0 - (2 - 0^2) = 1 - 2 = -1 \]
• Возьмем \(b = 2\), тогда: \[ f(2) = 2^2 - (2 - 2^2) = 4 - (-2) = 4 + 2 = 6 \]

5. Точка ложного положения

Используя формулу метода ложного положения для точек \(a = 0\) и \(b = 2\): \[ x_{\text{false}} = \frac{0 \cdot f(2) - 2 \cdot f(0)}{f(2) - f(0)} = \frac{0 \cdot 6 - 2 \cdot (-1)}{6 - (-1)} = \frac{2}{7} \approx 0.2857 \]

6. Заключение

• Расчетная формула для метода ложного положения: \[ x_{\text{false}} = \frac{a \cdot f(b) - b \cdot f(a)}{f(b) - f(a)} \]
• Начальные точки \(a = 0\) и \(b = 2\) удовлетворяют условию \(f(a) \cdot f(b) < 0\), что гарантирует наличие корня на отрезке.
• Точка ложного положения для нахождения положительного корня: \( x_{\text{false}} \approx 0.2857 \).

Теперь вы можете продолжить итерации метода, если требуется более точный результат.