Записать расчетную формулу метода ложного положения для уравнения

Предмет: Математика Раздел: Численные методы

Задание:

Дано уравнение: \( 2^x = 2 - x^2 \). Записать расчетную формулу метода ложного положения для этого уравнения. Найти точку ложного положения для нахождения положительного корня уравнения.

Решение:

Шаг 1: Формулировка задачи

Нужно решить уравнение \( 2^x = 2 - x^2 \) с помощью метода ложного положения. Для начала представим это уравнение в виде функции: \[ f(x) = 2^x - (2 - x^2). \] Теперь нужно решить уравнение \( f(x) = 0 \), то есть найти такие значения \( x \), где функция пересекает ось абсцисс (значения корней).

Шаг 2: Метод ложного положения

Метод ложного положения заключается в следующем:

• Насколько возможно, находим интервал \([a, b]\), в котором функция меняет знак (то есть \( f(a) \cdot f(b) < 0 \)).
• Вычисляем приближение корня по формуле: \[ x_{\text{false}} = \frac{a \cdot f(b) - b \cdot f(a)}{f(b) - f(a)}. \] Это значение является новой аппроксимацией корня.

Шаг 3: Поиск интервала

Для применения метода нам нужно подобрать начальный интервал \([a, b]\), на котором функция меняет знак.

1. Подставим несколько значений для \( f(x) \):
   • \( f(0) = 2^0 - (2 - 0^2) = 1 - 2 = -1 \),
   • \( f(1) = 2^1 - (2 - 1^2) = 2 - (2 - 1) = 1 \),
   • \( f(2) = 2^2 - (2 - 2^2) = 4 - (-2) = 6 \).
2. Мы видим, что:
   • \( f(0) = -1 \),
   • \( f(1) = 1 \).

Значит, на интервале \( [0, 1] \) функция меняет знак, и мы можем применить метод ложного положения.

Шаг 4: Вычисление точки ложного положения

Вычисляем по формуле: \[ x_{\text{false}} = \frac{0 \cdot f(1) - 1 \cdot f(0)}{f(1) - f(0)} = \frac{0 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)}{1 - (-1)} = \frac{0 + 1}{2} = \frac{1}{2} = 0.5. \]

Ответ:

Точка ложного положения для поиска положительного корня уравнения \( 2^x = 2 - x^2 \) равна \( x_{\text{false}} = 0.5 \). Применяя метод итеративно, можно улучшать точность аппроксимации корня.