Записать формулу сходящегося итерационного процесса для нахождения положительного корня уравнения

Предмет: Математика

Раздел: Численные методы

Задание: Записать формулу сходящегося итерационного процесса для нахождения положительного корня уравнения \(x^4 + 2x - 1 = 0\). Обосновать сходимость процесса.

Решение

Перед нами задача нахождения положительного корня уравнения: \[ x^4 + 2x - 1 = 0 \]

Это нелинейное уравнение, которое можно решать с помощью итерационных методов, таких как метод простой итерации.

Шаг 1: Преобразуем уравнение

Для метода простой итерации нужно приближенно выразить \( x \) через сам \( x \). Обычно мы пытаемся переписать уравнение в виде: \[ x = \phi(x) \]

Это шаг преобразования уравнения в эквивалентное "итерационное" уравнение. Попробуем выразить \( x \) через саму функцию. Рассмотрим вариант, когда выбираем одну из обозримых функций, скажем: \[ x = \left(1 - 2x\right)^{1/4} \]

Теперь у нас есть возможная итерационная формула: \[ x_{n+1} = \left(1 - 2x_n\right)^{1/4} \]

Это может служить основой для итерационного процесса поиска корня уравнения.

Шаг 2: Условия сходимости

Итерационный процесс сходится, если функция \( \phi(x) \), то есть правая часть уравнения, удовлетворяет следующим условиям в некоторой окрестности корня:

1. Монотонность: Функция должна быть непрерывной на интервале, где мы ищем корень.
2. Сжимающее отображение: Необходимо, чтобы выполнялось условие: \[ |\phi'(x)| < 1 \quad \text{в окрестности корня.} \]
   Это обеспечит сходимость процесса.

Посмотрим на производную функции \( \phi(x) = \left(1 - 2x\right)^{1/4} \):

\[ \phi'(x) = \frac{d}{dx} \left(1 - 2x\right)^{1/4} \]

Применяя правило цепочки: \[ \phi'(x) = \frac{1}{4} \left(1 - 2x\right)^{-3/4} \cdot (-2) = - \frac{1}{2} \left(1 - 2x\right)^{-3/4} \]

Оценим, как ведёт себя эта производная в окрестности предполагаемого корня. Пусть \( x \) лежит в области \( 0 < x < 0.5 \), тогда \( \phi'(x) \) по модулю будет меньше 1, что выполнит условие сходимости метода простой итерации.

Шаг 3: Начальное приближение

Для старта итерационного процесса нам потребуется выбрать начальное приближение \( x_0 \) достаточно близкое к корню. Поскольку мы ищем положительный корень, а \( x = 0 \) явно не корень, можно взять начальное приближение, например, \( x_0 = 0.3 \).

Итог:

Записанная итерационная формула для нахождения положительного корня уравнения: \[ x_{n+1} = \left(1 - 2x_n\right)^{1/4} \]

Процесс сойдется при выборе начального приближения \( x_0 \), близкого к положительному корню, и выполнении условия \( |\phi'(x)| < 1 \) в окрестности корня. Вот так мы с помощью метода простой итерации можем найти приближённый корень уравнения.