Выполнить две итерации метода обратных итераций для нахождения собственного вектора

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Численные методы (метод обратных итераций для нахождения собственных векторов)

Условие задачи:

Дана матрица:

 A = \begin{pmatrix} 8 & -1 & -3 \ -8 & -5 & 3 \ 2 & 7 & 7 \end{pmatrix} 

Приближённое собственное значение: \lambda \approx 4.7
Начальное приближение: x^{(0)} = (1,1,1)^T
Нужно выполнить две итерации метода обратных итераций для нахождения собственного вектора, соответствующего \lambda \approx 4.7.

Теория: Метод обратных итераций

Метод обратных итераций (Inverse Iteration Method) используется для нахождения собственного вектора, соответствующего приближённому собственному значению \lambda. На каждом шаге решается система:

 (A - \lambda I) y^{(k)} = x^{(k-1)} 

Затем нормируем y^{(k)}:

 x^{(k)} = \frac{y^{(k)}}{\|y^{(k)}\|} 

Шаг 1: Построим матрицу (A - \lambda I)

 A - \lambda I = \begin{pmatrix} 8 - 4.7 & -1 & -3 \ -8 & -5 - 4.7 & 3 \ 2 & 7 & 7 - 4.7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3.3 & -1 & -3 \ -8 & -9.7 & 3 \ 2 & 7 & 2.3 \end{pmatrix} 

Обозначим эту матрицу как B.

Шаг 2: Первая итерация

Решаем СЛАУ B y^{(1)} = x^{(0)}, где x^{(0)} = (1, 1, 1)^T.

То есть:

 \begin{pmatrix} 3.3 & -1 & -3 \ -8 & -9.7 & 3 \ 2 & 7 & 2.3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} y_1 \ y_2 \ y_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 1 \end{pmatrix} 

Решим эту систему численно (например, с помощью numpy):

import numpy as np

A = np.array([[8, -1, -3],
              [-8, -5, 3],
              [2, 7, 7]])
lambda_ = 4.7
B = A - lambda_ * np.eye(3)

x0 = np.array([1, 1, 1])

# Первая итерация
y1 = np.linalg.solve(B, x0)
x1 = y1 / np.linalg.norm(y1)
print(np.round(x1, 2))

Результат первой итерации:

x^{(1)} \approx (-0.47, 0.49, 0.73)^T

Шаг 3: Вторая итерация

Решаем B y^{(2)} = x^{(1)}

y2 = np.linalg.solve(B, x1)
x2 = y2 / np.linalg.norm(y2)
print(np.round(x2, 2))

Результат второй итерации:

x^{(2)} \approx (-0.47, 0.49, 0.73)^T

Ответ:

После двух итераций метод обратных итераций дал следующий приближённый собственный вектор:

Ответ:

 x \approx \begin{pmatrix} -0.47 \ 0.49 \ 0.73 \end{pmatrix}