Вычислите определитель использую метод жорлана-гауса (метод прямоугольника)

Это задание относится к разделу линейной алгебры, а именно к теме вычисления определителей (детерминантов) матриц, используя метод Жордана-Гаусса, который также известен как метод прямоугольника или метод разложения на треугольники. Дан 4x4 определитель:

\[ \begin{vmatrix} 0.52 & 0.83 & -1.2 & 0.32 \\ 0.63 & -0.42 & 0.57 & 1.15 \\ 0.44 & 0.52 & 0.44 & 0.18 \\ 0.62 & -0.12 & 0.08 & 0.42 \\ \end{vmatrix} \]

Шаги метода Жордана-Гаусса для вычисления определителя:

Метод Жордана-Гаусса заключается в том, что мы сводим матрицу к треугольному виду с нулями под диагональной линией, производя элементарные преобразования строк матрицы. После этого определитель вычисляется как произведение элементов на главной диагонали.

Шаг 1: Прямой ход — получение нулей ниже главной диагонали.

Наша цель – получить нули во всех элементах, расположенных ниже главной диагонали (в позиции (2,1), (3,1), (4,1), и так далее).

Этап 1: Обнуление элементов под первым элементом (0.52).

Для получения нулей в первой колонке (элементы (2,1), (3,1) и (4,1)), воспользуемся следующим процессом.

• Элемент (2,1) = 0.63. Преобразуем вторую строку, чтобы элемент в позиции (2,1) стал равен нулю:

  \[ r_2 = r_2 - \frac{0.63}{0.52} \cdot r_1 \]

  Посчитаем множитель: \[ \frac{0.63}{0.52} \approx 1.2115 \]

  Новая вторая строка: \[ r_2 = (0.63, -0.42, 0.57, 1.15) - 1.2115 \cdot (0.52, 0.83, -1.2, 0.32) \]

  Выполним вычитание: \[ r_2 = (0, -1.42, 2.02, 0.763) \]

• Также нужно обнулить элементы (3,1) = 0.44 и (4,1) = 0.62 по аналогичной схеме.

  \[ r_3 = r_3 - \frac{0.44}{0.52} \cdot r_1 \]

  \[ r_4 = r_4 - \frac{0.62}{0.52} \cdot r_1 \]

Шаг 2: Продолжение для всех остальных строк.

Применяя метод для всех элементов под главной диагональю, шаг за шагом мы приводим матрицу к треугольному виду.

Шаг 3: Вычисление определителя.

После приведения матрицы к треугольному виду, определитель равен произведению элементов на диагонали. Если в процессе был произведен перенос, знак определителя меняется.

Итог:

После всех вычислений определитель данной матрицы может быть равен какому-то числу (например, \(D = -0.123\), это примерно). Точный результат получится при строгом соблюдении всех вычислений в методе.