Вычислить y при x = 0.2

Предмет: Математика
Раздел: Численные методы (Численное решение дифференциальных уравнений)
Метод: Метод Эйлера (Рунге-Кутты 1-го порядка)

Дано:

Дифференциальное уравнение:

y' = -\dfrac{xy}{1 + x^2}

Начальное условие:

y(0) = 2

Отрезок: x \in [0, 0.2], шаг h = 0.02

Точное решение:
y(x) = \dfrac{2}{\sqrt{1 + x^2}}

Шаг 1: Метод Рунге-Кутты 1-го порядка (Метод Эйлера)

Формула Эйлера: y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n)

Где:

• f(x, y) = -\dfrac{xy}{1 + x^2}
• y_0 = 2
• x_0 = 0
• h = 0.02

Нам нужно вычислить y при x = 0.2, то есть выполнить 10 шагов (так как 0.2 / 0.02 = 10).

Шаг 2: Итерации метода Эйлера

Обозначим:

• y_0 = 2
• x_n = 0 + n \cdot h

Выполним 10 шагов:

Шаг 1:

x_0 = 0
y_0 = 2
f(x_0, y_0) = -\dfrac{0 \cdot 2}{1 + 0^2} = 0
y_1 = 2 + 0.02 \cdot 0 = 2

Шаг 2:

x_1 = 0.02
f(x_1, y_1) = -\dfrac{0.02 \cdot 2}{1 + 0.02^2} = -\dfrac{0.04}{1.0004} \approx -0.039984
y_2 = 2 + 0.02 \cdot (-0.039984) = 2 - 0.00079968 \approx 1.9992

Шаг 3:

x_2 = 0.04
f(x_2, y_2) = -\dfrac{0.04 \cdot 1.9992}{1 + 0.04^2} = -\dfrac{0.079968}{1.0016} \approx -0.079840
y_3 = 1.9992 - 0.02 \cdot 0.079840 \approx 1.9976

Шаг 4:

x_3 = 0.06
f = -\dfrac{0.06 \cdot 1.9976}{1 + 0.06^2} = -\dfrac{0.119856}{1.0036} \approx -0.119426
y_4 = 1.9976 - 0.02 \cdot 0.119426 \approx 1.9952

Шаг 5:

x_4 = 0.08
f = -\dfrac{0.08 \cdot 1.9952}{1 + 0.08^2} = -\dfrac{0.159616}{1.0064} \approx -0.1586
y_5 = 1.9952 - 0.02 \cdot 0.1586 \approx 1.9920

Шаг 6:

x_5 = 0.10
f = -\dfrac{0.10 \cdot 1.9920}{1 + 0.10^2} = -\dfrac{0.1992}{1.01} \approx -0.1972
y_6 = 1.9920 - 0.02 \cdot 0.1972 \approx 1.9881

Шаг 7:

x_6 = 0.12
f = -\dfrac{0.12 \cdot 1.9881}{1 + 0.12^2} = -\dfrac{0.238572}{1.0144} \approx -0.2351
y_7 = 1.9881 - 0.02 \cdot 0.2351 \approx 1.9834

Шаг 8:

x_7 = 0.14
f = -\dfrac{0.14 \cdot 1.9834}{1 + 0.14^2} = -\dfrac{0.277676}{1.0196} \approx -0.2723
y_8 = 1.9834 - 0.02 \cdot 0.2723 \approx 1.9780

Шаг 9:

x_8 = 0.16
f = -\dfrac{0.16 \cdot 1.9780}{1 + 0.16^2} = -\dfrac{0.31648}{1.0256} \approx -0.3087
y_9 = 1.9780 - 0.02 \cdot 0.3087 \approx 1.9718

Шаг 10:

x_9 = 0.18
f = -\dfrac{0.18 \cdot 1.9718}{1 + 0.18^2} = -\dfrac{0.354924}{1.0324} \approx -0.3438
y_{10} = 1.9718 - 0.02 \cdot 0.3438 \approx 1.9649

Шаг 3: Точное значение функции

y(0.2) = \dfrac{2}{\sqrt{1 + 0.2^2}} = \dfrac{2}{\sqrt{1.04}} \approx \dfrac{2}{1.0198} \approx 1.961

Шаг 4: Вычисление погрешности

\text{Погрешность} = |1.9649 - 1.961| = 0.0039

Ответ:

1.965, 0.00390 (с округлением до трёх значащих цифр)