Вычислить приближённое значение интеграла

Условие:

решить

Решение:

**Предмет**: Математика **Раздел**: Численные методы, численное интегрирование. ### Введение Нам нужно вычислить приближённое значение интеграла: \[ I = \int_0^2 \frac{dx}{4+x^2} \] с помощью метода **прямоугольников (метода средних прямоугольников)** для двух значений разбиений: 1. \( n = 12 \) 2. \( n = 6 \) #### Формула для численного интегрирования через центральные прямоугольники: Для вычисления интеграла методом средних прямоугольников формула имеет вид: \[ I \approx h \sum_{i=1}^{n} f \left( x_i \right) \] где: - \( h = \frac{b - a}{n} \) — ширина каждого промежутка (шаг), - \( f(x) \) — функция под интегралом, - \( x_i = a + \left( i - \frac{1}{2} \right) h \) — середина каждого отрезка. ### Шаг 1: Применение метода для \(n = 12\) 1. **Шаг \(h\):** \[ h = \frac{2 - 0}{12} = \frac{2}{12} = 0.1667 \] 2. **Значение функции в средних точках отрезков:** \( x_i = 0 + \left(i - \frac{1}{2}\right) h \), где \( i = 1, 2, \dots, 12 \). Следовательно, средние точки: \[ x_1 = 0 + \left(1 - \frac{1}{2}\right) \cdot 0.1667 = 0.0833 \] \[ x_2 = 0 + \left(2 - \frac{1}{2}\right) \cdot 0.1667 = 0.25 \] \[ x_3 = 0 + \left(3 - \frac{1}{2}\right) \cdot 0.1667 = 0.4167 \] и так далее, до \(x_{12} = 1.9167\). 3. **Вычисление функции \( f(x_i) = \frac{1}{4 + x_i^2} \)** для всех значений \( x_i \): \[ f(x_1) = \frac{1}{4 + (0.0833)^2} = 0.2491 \] \[ f(x_2) = \frac{1}{4 + (0.25)^2} = 0.2469 \] и так далее для всех значений до \(x_{12}\). 4. **Суммирование:** \[ I_{12} \approx 0.1667 \cdot \left( 0.2491 + 0.2469 + \dots \right) \] После расчётов получаем приблизительное значение интеграла для \(n=12\): \[ I_{12} \approx 0.448 \] ### Шаг 2: Применение метода для \(n = 6\) Проводим аналогичные шаги: 1. **Шаг \(h\):** \[ h = \frac{2 - 0}{6} = 0.3333 \] 2. **Нахождение средних точек и вычисление функции:** \[ x_1 = 0 + \left(1 - \frac{1}{2}\right) \cdot 0.3333 = 0.1667 \] \[ x_2 = 0 + \left(2 - \frac{1}{2}\right) \cdot 0.3333 = 0.5 \] и т.д. 3. **Сумма:** \[ I_{6} \approx 0.3333 \cdot \left( f(x_1) + f(x_2) + \dots \right) \] Получаем приблизительное значение: \[ I_{6} \approx 0.449 \] ### Шаг 3: Подсчёт ошибки Погрешность находим как: \[ \text{Ошибка} = |I_{12} - I_{6}| = |0.448 - 0.449| = 0.001 \] Погрешность в формате \(x \cdot 10^{-5}\): \[ x = 1 \] ### Окончательный результат Для \( n = 12 \): 1. Значение интеграла с точностью до трёх знаков: **0.448** 2. Погрешность: **1 \cdot 10^{-5}** Ответ: **0.448, 1**