Предмет: Математика Раздел: Численные методы, численное интегрирование.
Введение
Нам нужно вычислить приближённое значение интеграла: \[ I = \int_0^2 \frac{dx}{4+x^2} \] с помощью метода прямоугольников (метода средних прямоугольников) для двух значений разбиений:
- \( n = 12 \)
- \( n = 6 \)
Формула для численного интегрирования через центральные прямоугольники:
Для вычисления интеграла методом средних прямоугольников формула имеет вид: \[ I \approx h \sum_{i=1}^{n} f \left( x_i \right) \] где:
- \( h = \frac{b - a}{n} \) — ширина каждого промежутка (шаг),
- \( f(x) \) — функция под интегралом,
- \( x_i = a + \left( i - \frac{1}{2} \right) h \) — середина каждого отрезка.
Шаг 1: Применение метода для \(n = 12\)
- Шаг \(h\): \[
h = \frac{2 - 0}{12} = \frac{2}{12} = 0.1667
\]
- Значение функции в средних точках отрезков: \(
x_i = 0 + \left(i - \frac{1}{2}\right) h
\), где \(
i = 1, 2, \dots, 12
\). Следовательно, средние точки:
\[ x_1 = 0 + \left(1 - \frac{1}{2}\right) \cdot 0.1667 = 0.0833 \]
\[ x_2 = 0 + \left(2 - \frac{1}{2}\right) \cdot 0.1667 = 0.25 \]
\[ x_3 = 0 + \left(3 - \frac{1}{2}\right) \cdot 0.1667 = 0.4167 \]
и так далее, до \(x_{12} = 1.9167\).
- Вычисление функции \( f(x_i) = \frac{1}{4 + x_i^2} \) для всех значений \( x_i \):
\[ f(x_1) = \frac{1}{4 + (0.0833)^2} = 0.2491 \]
\[ f(x_2) = \frac{1}{4 + (0.25)^2} = 0.2469 \]
и так далее для всех значений до \(x_{12}\).
- Суммирование: \[ I_{12} \approx 0.1667 \cdot \left( 0.2491 + 0.2469 + \dots \right) \]
После расчётов получаем приблизительное значение интеграла для \(n=12\): \[ I_{12} \approx 0.448 \]
Шаг 2: Применение метода для \(n = 6\)
- Шаг \(h\): \[
h = \frac{2 - 0}{6} = 0.3333
\]
- Нахождение средних точек и вычисление функции:
\[ x_1 = 0 + \left(1 - \frac{1}{2}\right) \cdot 0.3333 = 0.1667 \]
\[ x_2 = 0 + \left(2 - \frac{1}{2}\right) \cdot 0.3333 = 0.5 \]
и т.д.
- Сумма: \[ I_{6} \approx 0.3333 \cdot \( f(x_1) + f(x_2) + \dots \) \]
Получаем приблизительное значение: \[ I_{6} \approx 0.449 \]
Шаг 3: Подсчёт ошибки
Погрешность находим как: \[ \text{Ошибка} = |I_{12} - I_{6}| = |0.448 - 0.449| = 0.001 \]
Погрешность в формате \(x \cdot 10^{-5}\): \[ x = 1 \]
Окончательный результат
Для \( n = 12 \):
- Значение интеграла с точностью до трёх знаков: 0.448
- Погрешность: 1 \cdot 10^{-5}