Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
∫_0^(π/2)▒〖sinх dx〗 (n=6). Оценить погрешность метода правых прямоугольников.
Предмет: Математика
Раздел: Численные методы (Численное интегрирование)
Нам нужно:
Вычислить приближенное значение определённого интеграла: ∫_0^{π/2} \sin x \, dx с помощью метода правых прямоугольников при n = 6.
Оценить погрешность этого приближения.
Метод правых прямоугольников (или метод правых сумм) для приближённого вычисления определённого интеграла ∫_a^b f(x) dx разбивает отрезок [a, b] на n равных частей и использует значения функции в правых концах отрезков:
R_n = h \sum_{i=1}^{n} f(x_i)
где:
У нас:
Вычислим шаг:
h = \frac{π/2 - 0}{6} = \frac{π}{12}
Вычислим правые узлы:
x_i = i \cdot \frac{π}{12}, \quad i = 1, 2, ..., 6
То есть:
Теперь вычислим значения синуса в этих точках:
\begin{align*} \sin\left(\frac{π}{12}\right) &≈ 0.2588 \ \sin\left(\frac{π}{6}\right) &= 0.5 \ \sin\left(\frac{π}{4}\right) &≈ 0.7071 \ \sin\left(\frac{π}{3}\right) &≈ 0.8660 \ \sin\left(\frac{5π}{12}\right) &≈ 0.9659 \ \sin\left(\frac{π}{2}\right) &= 1 \end{align*}
Сложим значения:
S = 0.2588 + 0.5 + 0.7071 + 0.8660 + 0.9659 + 1 = 4.2978
Теперь подставим в формулу:
R_6 = h \cdot S = \frac{π}{12} \cdot 4.2978 ≈ 0.2618 \cdot 4.2978 ≈ 1.125
∫_0^{π/2} \sin x \, dx = [-\cos x]_0^{π/2} = -\cos\left(\frac{π}{2}\right) + \cos(0) = 0 + 1 = 1
Абсолютная погрешность:
|R_6 - I| = |1.125 - 1| = 0.125
Также можно оценить теоретическую погрешность метода правых прямоугольников:
|E| ≤ \frac{(b - a)^2}{2n} \cdot \max_{x ∈ [a, b]} |f'(x)|
Для f(x) = \sin x, производная f'(x) = \cos x, максимум на [0, π/2] — это \cos(0) = 1.
|E| ≤ \frac{(π/2)^2}{2 \cdot 6} = \frac{π^2}{24} ≈ \frac{9.87}{24} ≈ 0.411
То есть теоретическая оценка погрешности — до 0.411, но фактическая — 0.125.
Приближенное значение интеграла методом правых прямоугольников при n = 6:
R_6 ≈ 1.125
Абсолютная погрешность:
|R_6 - I| ≈ 0.125