Вычислить приближенное значение определённого интеграла с помощью метода правых прямоугольников

Предмет: Математика
Раздел: Численные методы (Численное интегрирование)

Нам нужно:

1. Вычислить приближенное значение определённого интеграла: ∫_0^{π/2} \sin x \, dx с помощью метода правых прямоугольников при n = 6.

2. Оценить погрешность этого приближения.

Шаг 1: Формула метода правых прямоугольников

Метод правых прямоугольников (или метод правых сумм) для приближённого вычисления определённого интеграла ∫_a^b f(x) dx разбивает отрезок [a, b] на n равных частей и использует значения функции в правых концах отрезков:

 R_n = h \sum_{i=1}^{n} f(x_i) 

где:

• h = \frac{b - a}{n} — шаг разбиения,
• x_i = a + i \cdot h — правые концы отрезков.

Шаг 2: Подставим данные

У нас:

• a = 0, b = \frac{π}{2}
• n = 6
• f(x) = \sin x

Вычислим шаг:

 h = \frac{π/2 - 0}{6} = \frac{π}{12} 

Вычислим правые узлы:

 x_i = i \cdot \frac{π}{12}, \quad i = 1, 2, ..., 6 

То есть:

• x_1 = \frac{π}{12}
• x_2 = \frac{2π}{12} = \frac{π}{6}
• x_3 = \frac{3π}{12} = \frac{π}{4}
• x_4 = \frac{4π}{12} = \frac{π}{3}
• x_5 = \frac{5π}{12}
• x_6 = \frac{6π}{12} = \frac{π}{2}

Теперь вычислим значения синуса в этих точках:

 \begin{align*} \sin\left(\frac{π}{12}\right) &≈ 0.2588 \ \sin\left(\frac{π}{6}\right) &= 0.5 \ \sin\left(\frac{π}{4}\right) &≈ 0.7071 \ \sin\left(\frac{π}{3}\right) &≈ 0.8660 \ \sin\left(\frac{5π}{12}\right) &≈ 0.9659 \ \sin\left(\frac{π}{2}\right) &= 1 \end{align*} 

Сложим значения:

 S = 0.2588 + 0.5 + 0.7071 + 0.8660 + 0.9659 + 1 = 4.2978 

Теперь подставим в формулу:

 R_6 = h \cdot S = \frac{π}{12} \cdot 4.2978 ≈ 0.2618 \cdot 4.2978 ≈ 1.125 

Шаг 3: Точное значение интеграла

 ∫_0^{π/2} \sin x \, dx = [-\cos x]_0^{π/2} = -\cos\left(\frac{π}{2}\right) + \cos(0) = 0 + 1 = 1 

Шаг 4: Погрешность

Абсолютная погрешность:

 |R_6 - I| = |1.125 - 1| = 0.125 

Также можно оценить теоретическую погрешность метода правых прямоугольников:

 |E| ≤ \frac{(b - a)^2}{2n} \cdot \max_{x ∈ [a, b]} |f'(x)| 

Для f(x) = \sin x, производная f'(x) = \cos x, максимум на [0, π/2] — это \cos(0) = 1.

 |E| ≤ \frac{(π/2)^2}{2 \cdot 6} = \frac{π^2}{24} ≈ \frac{9.87}{24} ≈ 0.411 

То есть теоретическая оценка погрешности — до 0.411, но фактическая — 0.125.

Ответ:

• Приближенное значение интеграла методом правых прямоугольников при n = 6:
  R_6 ≈ 1.125

• Абсолютная погрешность:
  |R_6 - I| ≈ 0.125