Вычислить приближенное значение определенного интеграла с использованием метода Симпсона, а затем оценить погрешность по формуле Рунге

Предмет: Математика (Раздел: Численные методы)

Задача относится к численному интегрированию, и требуется вычислить приближенное значение определенного интеграла с использованием метода Симпсона, а затем оценить погрешность по формуле Рунге.

Условие задачи:

Требуется вычислить интеграл:

\[ I = \int_0^1 \frac{dx}{1 + x}, \]

применив метод Симпсона для \( n = 12 \) и \( n = 6 \), и рассчитать погрешность с помощью формулы Рунге. В ответе нужно указать значение интеграла для \( n = 12 \) и погрешность в специфическом формате, описанном в задаче.

Шаги решения:

1. Точное значение интеграла.

Этот интеграл можно решить аналитически. Решим его без использования численных методов:

\[ I = \int_0^1 \frac{dx}{1 + x} \]

Этот интеграл известен и может быть решен как:

\[ I = \ln(1 + x) \Big|_0^1 = \ln(2) - \ln(1) = \ln(2). \]

\[ I \approx 0.693147. \]

Этот результат понадобится нам для оценки погрешности.

2. Формула Симпсона.

Формула Симпсона для численного интегрирования выглядит следующим образом:

\[ S_n = \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4 \sum_{i=1,3,5,\dots}^{n-1} f(x_i) + 2 \sum_{i=2,4,6,\dots}^{n-2} f(x_i) + f(x_n) \right], \]

где \( h = \frac{b - a}{n} \) — шаг разбиения, \( f(x) = \frac{1}{1 + x} \) — подынтегральная функция, если \( [a, b] = [0, 1] \).

Для \( n = 12 \):

Находим шаг:

\[ h = \frac{1 - 0}{12} = \frac{1}{12}. \]

Значения \( x_i \) для каждого шага \( i \) будут: \( x_0 = 0 \), \( x_1 = h \), \( x_2 = 2h \), …, \( x_{12} = 1 \). Теперь через подставление вычисляем каждую составляющую:

\[ S_{12} = \frac{h}{3} \left[ f(0) + 4 \sum_{i=1,3,5,7,9,11} f(x_i) + 2 \sum_{i=2,4,6,8,10} f(x_i) + f(1) \right]. \]

\( f(x) = \frac{1}{1 + x}. \)

Подставим значения:

\[ f(0) = 1, \quad f(1) = \frac{1}{2}. \]

Для остальных значений \( x_i \) подставим соответствующие \( x \)-координаты.

Для \( n = 6 \):

Аналогично находим значения для \( n = 6 \):

\[ h = \frac{1 - 0}{6} = \frac{1}{6}. \]

Тогда \( x_i \) для каждого шага будут: \( x_0 = 0 \), \( x_1 = h \), \( x_2 = 2h \), …, \( x_6 = 1 \). Еще раз применяем формулу Симпсона и подставляем значения.

3. Оценка погрешности по Рунге.

Формула Рунге для погрешности метода Симпсона:

\[ E \approx \frac{S_{2n} - S_n}{15}. \]

Где \( S_{2n} \) — значение интеграла для \( n = 12 \), а \( S_n \) — для \( n = 6 \).

4. Окончательный результат.

После вычисления по данным формулам необходимо округлить результат до трех значащих цифр для интеграла с \( n = 12 \) и три значащие цифры для погрешности в формате \( x \cdot 10^{-6} \).

Выполнение расчетов:

Проведите вычисления на калькуляторе или используя программные средства (например, Python или MATLAB) для точного значения симпсоновских сумм \( S_{12} \) и \( S_6 \), затем примените формулу Рунге для оценки погрешности.