Вычислить относительное число обусловленности для задачи нахождения значения гиперболического тангенса

Определение предмета и раздела

Этот пример относится к численному анализу или вычислительной математике, в частности к разделу корректности и обусловленности вычислительных задач и алгоритмов, что связано с анализом чувствительности задач к небольшим изменениям во входных данных.

Пояснение задачи:

Нужно вычислить относительное число обусловленности для задачи нахождения значения гиперболического тангенса (th \(x\)) при \(x = 0\). Функция гиперболического тангенса задаётся как:

\[ y = \text{th}(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} \]

Шаг 1: Найдём аналитическое значение функции при \( x = 0 \)

Для начала вычислим значение \( y \) при \( x = 0 \).

\[ y = \frac{e^0 - e^0}{e^0 + e^0} = \frac{1 - 1}{1 + 1} = \frac{0}{2} = 0 \]

Гиперболический тангенс \( \text{th}(0) = 0 \).

Шаг 2: Определение относительного числа обусловленности

Число обусловленности вычисляется как:

\[ C(x) = \left| \frac{x \cdot y'(x)}{y(x)} \right| \]

Здесь \(y'(x)\) — это производная от функции \( y = \text{th}(x) \).

Шаг 3: Найдём производную гиперболического тангенса

Производная функции \( y = \text{th}(x) \) равна:

\[ y'(x) = 1 - \text{th}^2(x) \]

Шаг 4: Вычислим производную в точке \( x = 0 \)

\[ y'(0) = 1 - \text{th}^2(0) = 1 - 0^2 = 1 \]

Шаг 5: Найдём относительное число обусловленности

Подставим полученные значения в формулу для числа обусловленности:

\[ C(0) = \left| \frac{0 \cdot 1}{0} \right| \]

Возникает неопределенность, так как чувствительность задачи в точке \( x = 0 \) даёт деление на 0.

Вывод:

Функция гиперболического тангенса относительно плохо обусловлена около значений \(x = 0\), так как число обусловленности неопределено (∞), что говорит о высокой чувствительности задачи при малых отклонениях \(x\) от 0.