Вычислить определённый интеграл по формуле трапеций

Предмет: Математика

Раздел: Численное интегрирование функций

Объяснение по задаче:

Дано задание вычислить определённый интеграл \(\int_0^1 \frac{1}{1+x} dx\) по формуле трапеций. Для этого нам нужно провести численное интегрирование при двух различных значениях \( n \): \( n = 12 \) и \( n = 6 \).

Формула трапеций для численного интегрирования выглядит так:

\[ I \approx \frac{h}{2} \left[f(x_0) + 2\sum_{k=1}^{n-1} f(x_k) + f(x_n)\right] \]

Где:

• \( h \) — шаг сетки, равный: \[ h = \frac{b - a}{n} \]
• \( f(x_k) \) — значения функции в узлах.
• \( x_k = a + k \cdot h \), где \( k = 0, 1, \dots, n \).

Заданный интервал интегрирования — от 0 до 1, т.е. \( a = 0 \), \( b = 1 \).

Функция для интегрирования: \( f(x) = \frac{1}{1+x} \).

Шаг 1: Вычисление для \( n = 12 \)

1. Определяем шаг:

   \[ h = \frac{1 - 0}{12} = \frac{1}{12} \]

   Теперь определяем \( x_k \) для каждого \( k \): \[ x_0 = 0, \quad x_1 = \frac{1}{12}, \quad x_2 = \frac{2}{12}, \quad \dots, \quad x_{12} = 1 \]

2. Вычисляем значения \( f(x_k) = \frac{1}{1 + x_k} \):

   \[ f(x_0) = f(0) = 1, \quad f(x_1) = \frac{1}{1 + \frac{1}{12}} = \frac{12}{13}, \quad \dots, \quad f(x_{12}) = f(1) = \frac{1}{2} \]

3. Теперь воспользуемся формулой трапеций:

   \[ I_{12} \approx \frac{h}{2} \left[f(x_0) + 2 \sum_{k=1}^{n-1} f(x_k) + f(x_n)\right] \]

   Обозначим сумму: \[ S = 2 \sum_{k=1}^{11} f(x_k) \]

   После подстановки всех значений и расчётов получаем: \[ I_{12} \approx 0.693 \]

Шаг 2: Вычисление для \( n = 6 \)

1. Определяем шаг:

   \[ h = \frac{1}{6} = 0.1667 \]

2. Теперь определяем точки \( x_k \):

   \[ x_0 = 0, \quad x_1 = \frac{1}{6}, \quad \dots, \quad x_6 = 1 \]

3. Вычисляем значения \( f(x_k) \) и воспользуемся формулой трапеций, аналогично шагу 1.

   После вычислений получаем: \[ I_{6} \approx 0.694 \]

Шаг 3: Подсчёт погрешности

Погрешность можем оценить по формуле: \[ E \approx \left| I_{12} - I_{6} \right| \]

\[ E \approx |0.693 - 0.694| \cdot 10^{-4} = 0.001 \cdot 10^{-4} \]

Ответ:

0.693, 1.