Вычислить определённый интеграл через квадратурные формулы с числом интервалов

Предмет: Математика (численные методы)

Раздел: Численное интегрирование (методы прямоугольников, трапеций, Симпсона)

Задание состоит в том, чтобы вычислить определённый интеграл от \(\int_1^4 (x^3 - \sqrt{x})dx\) через квадратурные формулы с числом интервалов \(n = 6\).

Для выполнения численного интегрирования с помощью программного обеспечения Excel, можно воспользоваться методами прямоугольников, трапеций и Симпсона.

Алгоритм выполнения задания в Excel:

1. Разобьём отрезок \([1, 4]\) на \(n = 6\) частей.

• Длина одного шага (h) определяется как: \[ h = \frac{4 - 1}{6} = \frac{3}{6} = 0.5 \]

2. Определение узловых точек:

Узловые точки \(x_i\) на отрезке \([1, 4]\) при \(n = 6\) интервалах:

\[ x_0 = 1, \quad x_1 = 1.5, \quad x_2 = 2, \quad x_3 = 2.5, \quad x_4 = 3, \quad x_5 = 3.5, \quad x_6 = 4 \]

3. Задать функцию:

Функция, которую будем интегрировать, имеет вид: \[ f(x) = x^3 - \sqrt{x} \]

Для каждой из узловых точек вычислим значение данной функции:

• \[ f(x_0) = (1^3 - \sqrt{1}) = 1 - 1 = 0 \]
• \[ f(x_1) = (1.5^3 - \sqrt{1.5}) = 3.375 - 1.2247 \approx 2.1503 \]
• Аналогично вычислим значения для всех других точек.

4. Метод трапеций в Excel:

Формула для метода трапеций:

\[ I_{\text{трапеций}} = \frac{h}{2} \left(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + 2f(x_4) + 2f(x_5) + f(x_6)\right) \]

1. Создайте в Excel таблицу со значениями функций в узловых точках.
2. Примените формулу метода трапеций используя полученные значения.

5. Метод Симпсона в Excel:

Формула для метода Симпсона:

\[ I_{\text{Симпсона}} = \frac{h}{3} \left(f(x_0) + 4(f(x_1) + f(x_3) + f(x_5)) + 2(f(x_2) + f(x_4)) + f(x_6)\right) \]

1. В Excel введём значения в соответствующие клетки.
2. Выполним расчёты по формуле Симпсона и получим приближённое значение интеграла.

Пример таблицы в Excel:

• Столбец A: Узловые точки \(x\)
• Столбец B: \(f(x)\)
• Столбец C: Формулы для методов (интегральные значения)

Решение будет записано в ячейки как формулы, а окончательное значение интеграла — в отдельной ячейке после применения одной из методик.