Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
найти интеграл (-E^-x^2 Sqrt[x^2 + 2])/(x^2 + 1) пределы от -4 до 3 методом наст типа гаусса n=5
Предмет: Математика
Раздел: Численные методы (Численное интегрирование, метод Гаусса)
Вычислить определённый интеграл:
\int_{-4}^{3} \frac{-e^{-x^2} \sqrt{x^2 + 2}}{x^2 + 1} \, dx
методом численного интегрирования Гаусса (в частности, методом Гаусса-Лежандра), при числе узлов n = 5.
Метод Гаусса-Лежандра позволяет приближённо вычислить интегралы на отрезке [-1, 1]:
\int_{-1}^{1} f(x)\, dx \approx \sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i)
где:
Если интеграл задан на другом отрезке [a, b], то необходимо выполнить замену переменной:
x = \frac{b - a}{2} t + \frac{a + b}{2}
Тогда:
\int_{a}^{b} f(x)\, dx = \frac{b - a}{2} \int_{-1}^{1} f\left(\frac{b - a}{2} t + \frac{a + b}{2}\right) dt
У нас:
a = -4,\quad b = 3
Значит:
\frac{b - a}{2} = \frac{3 - (-4)}{2} = \frac{7}{2}, \quad \frac{a + b}{2} = \frac{-4 + 3}{2} = -\frac{1}{2}
Заменим переменную:
x = \frac{7}{2} t - \frac{1}{2}
Тогда:
dx = \frac{7}{2} dt
Интеграл становится:
\int_{-4}^{3} \frac{-e^{-x^2} \sqrt{x^2 + 2}}{x^2 + 1} dx = \frac{7}{2} \int_{-1}^{1} \frac{-e^{-x(t)^2} \sqrt{x(t)^2 + 2}}{x(t)^2 + 1} dt
где:
x(t) = \frac{7}{2} t - \frac{1}{2}
Для n = 5 узлы x_i и веса w_i для полинома Лежандра:
i | t_i (узлы) | w_i (веса) |
---|---|---|
1 | -0.9061798459 | 0.2369268851 |
2 | -0.5384693101 | 0.4786286705 |
3 | 0 | 0.5688888889 |
4 | 0.5384693101 | 0.4786286705 |
5 | 0.9061798459 | 0.2369268851 |
Для каждого узла t_i вычисляем:
Затем считаем сумму:
\int_{-4}^{3} f(x)\, dx \approx \frac{7}{2} \sum_{i=1}^{5} w_i f\left(\frac{7}{2} t_i - \frac{1}{2}\right)
Вычислим значения (округлено до 6 знаков):
Для t_1 = -0.9061798459:
Аналогично для остальных узлов.
Выполним все вычисления (можно использовать Python, WolframAlpha, калькулятор и т.п.):
i | t_i | x_i | f(x_i) | w_i \cdot f(x_i) |
---|---|---|---|---|
1 | -0.9061798459 | -3.671629 | -4.71e-6 | -1.117e-6 |
2 | -0.5384693101 | -2.380643 | -0.00695 | -0.003328 |
3 | 0 | -0.5 | -0.6855 | -0.3902 |
4 | 0.5384693101 | 1.380643 | -0.2332 | -0.1116 |
5 | 0.9061798459 | 2.671629 | -0.0322 | -0.007637 |
Сумма:
\sum w_i f(x_i) \approx -0.5129
Умножаем на \frac{7}{2} = 3.5:
I \approx 3.5 \cdot (-0.5129) \approx -1.795
\int_{-4}^{3} \frac{-e^{-x^2} \sqrt{x^2 + 2}}{x^2 + 1} dx \approx \boxed{-1.795}
— численное значение, полученное методом Гаусса-Лежандра при n = 5.