Вычислить определенный интеграл используя формулу центральных прямоугольников

Определение предмета и раздела:

Задание относится к разделу численных методов в математике, конкретно к методу численного интегрирования, который изучается в таких дисциплинах как математический анализ или вычислительная математика.

Условие задачи:

Задача просит вычислить определенный интеграл \[ \int_0^2 \frac{dx}{4 + x^2} \] используя формулу центральных прямоугольников (иногда также называемую методом средних прямоугольников), для двух случаев с разным количеством разбиений:

• \(n = 12\)
• \(n = 6\)

1. Формула метода центральных прямоугольников:

Метод центральных прямоугольников заключается в приближении значения интеграла функцией, вычисленной в точке, которая находится в середине каждого интервала разбиения. Формула метода:

\[ I \approx h \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*), \]

где:

• \(h = \frac{b - a}{n}\) — шаг разбиения.
• \( x_i^* = a + \left(i - \frac{1}{2}\right) h \) — середина каждого интервала разбиения.
• \(f(x)\) — подынтегральная функция.

2. Решение для \(n = 12\):

Шаг разбиения для случая \(n = 12\):

Интервал интегрирования: \([0; 2]\),

\[ h = \frac{2 - 0}{12} = \frac{2}{12} = 0.16667. \]

Промежуточные точки:

\[ x_i^* = 0 + \left(i - \frac{1}{2}\right) \cdot 0.16667 = (i - 0.5) \cdot 0.16667. \]

Для каждого значения \(i\) от 1 до 12 получаем \(x_i^*\):

\[ x_1^* = 0.08333, x_2^* = 0.25, x_3^* = 0.41667, \dots, x_{12}^* = 1.91667. \]

Подынтегральная функция:

Подынтегральная функция \[ f(x) = \frac{1}{4 + x^2}. \]

Вычисляем \(f(x_i^*)\) для каждого из найденных выше \(x_i^*\).

Значения функции \(f(x_i^*):

\[ f(x_1^*) = \frac{1}{4 + (0.08333)^2} \approx 0.2495, \]

\[ f(x_2^*) = \frac{1}{4 + (0.25)^2} \approx 0.2476, \]

\[ f(x_3^*) = \frac{1}{4 + (0.41667)^2} \approx 0.2432, \]

и так далее до \(x_{12}^*\).

Вычисление суммы:

Пусть

\[ S = \sum_{i=1}^{12} f(x_i^*). \]

Прибавляем полученные значения функций для каждого значения \(x_i^*\).

Приближенное значение интеграла:

Теперь подставляем в формулу:

\[ I \approx 0.16667 \cdot S. \]

3. Вычисления для \(n = 6\):

Аналогично, выполняем вычисления для случая \(n = 6\), повторяя те же шаги с новым \(h\).

Ответ:

Задачу можно решить численно с помощью программирования (например, с использованием Python или MATLAB). Вычислим интегралы для обоих случаев и укажем окончательный ответ в требуемом формате \(x\), через точку с запятой — погрешность в виде \(x \cdot 10^{-5}\).