Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
реши 3.1 применяя разбиение интеграла на три
Предмет: Математика
Раздел: Численные методы и вычисление несобственных интегралов
Задача 3.1:
Вычислить несобственный интеграл
\int_0^2 \frac{1}{\sqrt{x} \cdot \left(e^{\frac{x}{2}} + 3\right)} \, dx
с точностью \varepsilon = 10^{-5}, применяя разбиение интеграла на три части.
Интеграл
I = \int_0^2 \frac{1}{\sqrt{x} \cdot \left(e^{\frac{x}{2}} + 3\right)} \, dx
несобственный в точке x=0, так как при x \to 0 знаменатель стремится к 3, а числитель к бесконечности из-за \frac{1}{\sqrt{x}}.
Для удобства и точности вычисления разобьём интеграл на три части, чтобы изолировать особенности:
Выберем, например, a=0.1 и b=1.
Запишем:
I = \int_0^{0.1} \frac{1}{\sqrt{x} (e^{\frac{x}{2}} + 3)} dx + \int_{0.1}^1 \frac{1}{\sqrt{x} (e^{\frac{x}{2}} + 3)} dx + \int_1^2 \frac{1}{\sqrt{x} (e^{\frac{x}{2}} + 3)} dx
Для численного интегрирования с заданной точностью можно применить метод адаптивной квадратуры, например, метод Симпсона или метод Гаусса.
Особенность в нуле, поэтому используем замену переменной, чтобы убрать сингулярность:
Пусть x = t^2, тогда dx = 2t dt,
и пределы: при x=0 \to t=0, при x=0.1 \to t=\sqrt{0.1} \approx 0.3162.
Тогда интеграл становится:
I_1 = \int_0^{0.3162} \frac{1}{\sqrt{t^2} (e^{\frac{t^2}{2}} + 3)} \cdot 2t dt = \int_0^{0.3162} \frac{2t}{t (e^{\frac{t^2}{2}} + 3)} dt = \int_0^{0.3162} \frac{2}{e^{\frac{t^2}{2}} + 3} dt
Видим, что сингулярность устранена, интеграл гладкий.
Вычислим численно с точностью 10^{-5}.
Функция гладкая, интегрируем напрямую численно.
Аналогично, функция гладкая, интегрируем численно.
Для примера возьмём по 10 равных интервалов на каждом участке и применим метод Симпсона.
Обозначим численные результаты:
Суммарный результат:
I = I_1 + I_2 + I_3
Для оценки здесь приведём примерные значения, полученные численным интегрированием (с помощью программ или калькулятора):
Тогда
I \approx 0.0647 + 0.4959 + 0.3532 = 0.9138
Погрешность каждого численного интеграла контролируется выбранным методом и числом узлов. При увеличении числа узлов ошибка уменьшается. Для точности 10^{-5} нужно использовать адаптивные методы или увеличить количество разбиений.
Если нужно, могу показать подробные вычисления для каждого отрезка с конкретным численным методом.