Вычислить количество итераций (шагов) n метода деления отрезка пополам, необходимое для достижения заданной точности

Предмет: Численные методы
Раздел: Методы нахождения корней уравнений — Метод деления отрезка пополам (метод бисекции)

Условие задачи:

Вычислить количество итераций (шагов) n метода деления отрезка пополам, необходимое для достижения заданной точности \varepsilon = 0.073 на отрезке [6, 30].

Теория:

Метод деления отрезка пополам (бисекции) сужает отрезок, содержащий корень, вдвое на каждом шаге. Количество шагов n, необходимое для достижения заданной точности \varepsilon, можно найти по формуле:

 n \geq \log_2\left(\frac{b - a}{\varepsilon}\right) 

где:

• [a, b] — начальный отрезок,
• \varepsilon — требуемая точность.

Подстановка данных:

Дано:

• a = 6,
• b = 30,
• \varepsilon = 0.073.

Подставим в формулу:

 n \geq \log_2\left(\frac{30 - 6}{0.073}\right) = \log_2\left(\frac{24}{0.073}\right) = \log_2(328.7671233) 

Теперь вычислим логарифм:

 n \geq \log_2(328.7671233) \approx \frac{\log_{10}(328.7671233)}{\log_{10}(2)} \approx \frac{2.516}{0.3010} \approx 8.36 

Округляем в большую сторону, так как число шагов — целое:

 n = 9 

Ответ:

\boxed{n = 9} — минимальное количество итераций, необходимое для достижения заданной точности методом деления отрезка пополам.