Вычислить интеграл с помощью численного метода - формулы Симпсона и определить погрешность по методу Рунге для двух различных значений

Предмет: Математика.

Раздел: Численное интегрирование (формула Симпсона).

Задача просит вычислить интеграл с помощью численного метода — формулы Симпсона и определить погрешность по методу Рунге для двух различных значений $\text{(}n\text{)}$.

Дано:

Интеграл:

$\text{[}I={\int }_0^1\frac{dx}{1+x}\text{]}$

Необходимо воспользоваться формулой Симпсона и произвести вычисления для $\text{(}n=12\text{)}$ и $\text{(}n=6\text{)}$.

Формула Симпсона:

Формула для численного интегрирования по Симпсону выглядит следующим образом:

$\text{[}{I}_n=\frac{h}{3}[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+\cdots +4f(x_{n-1})+f(x_n)]\text{]}$

Где:

• $\text{(}h=\frac{b-a}{n}\text{)}$,
• $\text{(}{x}_i=a+ih\text{)}$,
• $\text{(}f(x_i)\text{)}$ — значение функции в точке $\text{(}{x}_i\text{)}$.

Шаг 1: Найдем значения для $\text{(}n=12\text{)}$

1. Диапазон интегрирования: от 0 до 1, следовательно, $\text{(}a=0\text{)}$, $\text{(}b=1\text{)}$.
2. Шаг интегрирования:

   $\text{[}h=\frac{1-0}{12}=\frac{1}{12}\text{]}$

3. Разобьем интервал на точки:

   $\text{[}{x}_0=0,x_1=\frac{1}{12},x_2=\frac{2}{12},\dots ,x_{12}=1.\text{]}$

4. Вычислим значения функции $\text{(}f(x)=\frac{1}{1+x}\text{)}$ в этих точках:

   $\text{[}f(x_0)=f(0)=\frac{1}{1+0}=1,\text{]}$

   $\text{[}f(x_1)=f\left(\frac{1}{12}\right)=\frac{1}{1+\frac{1}{12}}=\frac{1}{\frac{13}{12}}=\frac{12}{13}\approx 0.923,\text{]}$

   $\text{[}f(x_2)=f\left(\frac{2}{12}\right)=\frac{1}{\frac{14}{12}}\approx 0.857,\text{]}$

   и так далее для остальных точек.

После расчета всех $\text{(}f(x_i)\text{)}$, подставляем значения в формулу Симпсона:

$\text{[}{I}_{12}=\frac{h}{3}[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+\cdots +f(x_{12})]\text{]}$

Шаг 2: Найдем значения для $\text{(}n=6\text{)}$

Аналогично, проводим разбиение для $\text{(}n=6\text{)}$:

$\text{[}h=\frac{1-0}{6}=\frac{1}{6}\text{]}$

Проводим разбиение на точки и аналогичные вычисления для:

$\text{[}{x}_0=0,x_1=\frac{1}{6},x_2=\frac{2}{6},\dots ,x_6=1.\text{]}$

Также подставляем значения в формулу Симпсона для $\text{(}n=6\text{)}$.

Шаг 3: Оценка погрешности по методу Рунге

Формула погрешности по Рунге:

$\text{[}R=\frac{I_{n/2}-I_n}{15}\text{]}$

где $\text{(}{I}_{n/2}\text{)}$ — значение для меньшего количества разбиений, а $\text{(}{I}_n\text{)}$ — для большего.

Шаг 4: Подставляем значения в ответ

Результатом будет значение интеграла для $\text{(}n=12\text{)}$ с точностью до трёх знаков после запятой, затем погрешность по методу Рунге в виде $\text{(}x\cdot {10}^{-6}\text{)}$.