Вычислить интеграл с помощью численного метода - формулы Симпсона и определить погрешность по методу Рунге для двух различных значений

Предмет: Математика.

Раздел: Численное интегрирование (формула Симпсона).

Задача просит вычислить интеграл с помощью численного метода — формулы Симпсона и определить погрешность по методу Рунге для двух различных значений \( n \).

Дано:

Интеграл:

\[ I = \int_0^1 \frac{dx}{1+x} \]

Необходимо воспользоваться формулой Симпсона и произвести вычисления для \( n = 12 \) и \( n = 6 \).

Формула Симпсона:

Формула для численного интегрирования по Симпсону выглядит следующим образом:

\[ I_n = \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + \dots + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right] \]

Где:

• \( h = \frac{b - a}{n} \),
• \( x_i = a + ih \),
• \( f(x_i) \) — значение функции в точке \( x_i \).

Шаг 1: Найдем значения для \( n = 12 \)

1. Диапазон интегрирования: от 0 до 1, следовательно, \( a = 0 \), \( b = 1 \).
2. Шаг интегрирования:

   \[ h = \frac{1 - 0}{12} = \frac{1}{12} \]

3. Разобьем интервал на точки:

   \[ x_0 = 0, \, x_1 = \frac{1}{12}, \, x_2 = \frac{2}{12}, \dots , x_{12} = 1. \]

4. Вычислим значения функции \( f(x) = \frac{1}{1 + x} \) в этих точках:

   \[ f(x_0) = f(0) = \frac{1}{1+0} = 1, \]

   \[ f(x_1) = f\left(\frac{1}{12}\right) = \frac{1}{1+\frac{1}{12}} = \frac{1}{\frac{13}{12}} = \frac{12}{13} \approx 0.923, \]

   \[ f(x_2) = f\left(\frac{2}{12}\right) = \frac{1}{\frac{14}{12}} \approx 0.857, \]

   и так далее для остальных точек.

После расчета всех \( f(x_i) \), подставляем значения в формулу Симпсона:

\[ I_{12} = \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + \dots + f(x_{12}) \right] \]

Шаг 2: Найдем значения для \( n = 6 \)

Аналогично, проводим разбиение для \( n = 6 \):

\[ h = \frac{1 - 0}{6} = \frac{1}{6} \]

Проводим разбиение на точки и аналогичные вычисления для:

\[ x_0 = 0, \, x_1 = \frac{1}{6}, \, x_2 = \frac{2}{6}, \dots , x_6 = 1. \]

Также подставляем значения в формулу Симпсона для \( n = 6 \).

Шаг 3: Оценка погрешности по методу Рунге

Формула погрешности по Рунге:

\[ R = \frac{I_{n/2} - I_n}{15} \]

где \( I_{n/2} \) — значение для меньшего количества разбиений, а \( I_n \) — для большего.

Шаг 4: Подставляем значения в ответ

Результатом будет значение интеграла для \( n = 12 \) с точностью до трёх знаков после запятой, затем погрешность по методу Рунге в виде \( x \cdot 10^{-6} \).