Вычислить интеграл используя метод трапеций

Предмет: Численное интегрирование (раздел численных методов или вычислительной математики)

Это задание посвящено численному интегрированию с использованием метода трапеций.

Условие:

Необходимо вычислить заданный интеграл: \[ I = \int_0^1 \frac{dx}{1+x} \] используя метод трапеций. Даны два значения: \( n = 12 \) и \( n = 6 \), где \( n \) — количество промежутков, на которые делится интервал интегрирования.

Формула метода трапеций:

\[ I \approx \frac{h}{2}\left(f(x_0) + 2 \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(x_n)\right) \]

Где:

• \( h = \frac{b - a}{n} \) — шаг по оси \( x \),
• \( x_i = a + i \cdot h \),
• \( f(x) = \frac{1}{1+x} \),
• \( a = 0 \), \( b = 1 \).

Шаг 1: Вычисление интеграла при \( n = 12 \)

1) Найдем шаг \( h \) при \( n = 12 \):

\[ h = \frac{1 - 0}{12} = \frac{1}{12} \approx 0.08333 \]

2) Вычислим значения функции в узловых точках:

\[ x_0 = 0, \quad x_1 = h, \quad x_2 = 2h, \dots, \quad x_{12} = 1. \]

Теперь вычислим значения функции \( f(x_i) \) для этих \( x_i \):

\[ f(x) = \frac{1}{1+x}. \]

• \( f(x_0) = \frac{1}{1+0} = 1 \),
• \( f(x_1) = \frac{1}{1+0.08333} \approx 0.92308 \),
• \( f(x_2) = \frac{1}{1+0.16667} \approx 0.85714 \),
• \( f(x_3) = \frac{1}{1+0.25} = 0.8 \),
• \( f(x_4) = \frac{1}{1+0.33333} \approx 0.75 \),
• \( f(x_5) = \frac{1}{1+0.41667} \approx 0.70588 \),
• \( f(x_6) = \frac{1}{1+0.5} = 0.66667 \),
• \( f(x_7) = \frac{1}{1+0.58333} \approx 0.63158 \),
• \( f(x_8) = \frac{1}{1+0.66667} = 0.6 \),
• \( f(x_9) = \frac{1}{1+0.75} \approx 0.57143 \),
• \( f(x_{10}) = \frac{1}{1+0.83333} \approx 0.54545 \),
• \( f(x_{11}) = \frac{1}{1+0.91667} \approx 0.52174 \),
• \( f(x_{12}) = \frac{1}{1+1} = 0.5 \).

3) Применим формулу трапеций:

\[ I_n \approx \frac{h}{2} \left(f(x_0) + 2 \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(x_n)\right). \]

Подставляем значения:

\[ I_{12} \approx \frac{0.08333}{2} \cdot \left(1 + 2 \cdot (0.92308+0.85714+0.8+0.75+0.70588+0.66667+0.63158+0.6+0.57143+0.54545+0.52174) + 0.5\right). \]

Вычислим сумму:

\[ 0.92308+0.85714+0.8+0.75+0.70588+0.66667+0.63158+0.6+0.57143+0.54545+0.52174 = 8.57296. \]

Теперь окончательно:

\[ I_{12} \approx \frac{0.08333}{2} \cdot (1 + 17.14592 + 0.5) \approx 0.04167 \cdot 18.64592 \approx 0.777. \]

Шаг 2: Вычисление интеграла при \( n = 6 \)

1) Найдим шаг \( h \):

\[ h = \frac{1 - 0}{6} = \frac{1}{6} \approx 0.16667 \]

2) Вычислим значения функции на узлах:

\[ x_0 = 0, \quad x_1 = h, \quad x_2 = 2h, \dots, \quad x_6 = 1. \]

• \( f(x_0) = 1 \),
• \( f(x_1) = \frac{1}{1+0.16667} \approx 0.85714 \),
• \( f(x_2) = \frac{1}{1+0.3333} \approx 0.75 \),
• \( f(x_3) = 0.66667 \),
• \( f(x_4) = \frac{1}{1+0.66667} = 0.6 \),
• \( f(x_5) = \frac{1}{1+0.83333} \approx 0.54545 \),
• \( f(x_6) = 0.5 \).

3) Применим формулу трапеций:

\[ I_6 \approx \frac{0.16667}{2} \cdot (1 + 2 \cdot (0.85714 + 0.75 + 0.66667 + 0.6 + 0.54545) + 0.5). \]

Считаем сумму:

\[ 0.85714 + 0.75 + 0.66667 + 0.6 + 0.54545 = 3.41926. \]

Теперь вычисляем:

\[ I_6 \approx \frac{0.16667}{2} \cdot (1 + 6.83852 + 0.5) = 0.08333 \cdot (1 + 6.83852 + 0.5) = 0.08333 \cdot 8.33852 = 0.695. \]

Шаг 3: Погрешность

Погрешность метода трапеций можно оценить как разницу значений интегралов при разных \( n \):

Оформляем ответ:

• Значение интеграла при \( n = 12 \): \textbf{0.777}.
• Погрешность: 8.2 (округленная до трех знаков).

Ответ:

0.777;8.2

\[ \text{Погрешность} = |I_{12} - I_6| \approx |0.777 - 0.695| = 0.082. \]