Вычислить число обусловленности [v] метода Ньютона для поиска нуля функции

Предмет: Численные методы
Раздел: Метод Ньютона (метод касательных), анализ сходимости, оценка обусловленности

Задание:

Вычислить число обусловленности [v] метода Ньютона для поиска нуля функции
[f(x) = x^4 + 2x^3 - x - 1]
на интервале [0, 1].

Указание: использовать граничные значения интервала. Ответ дать с двумя значащими цифрами.

Теория:

Число обусловленности [v] метода Ньютона можно оценить по формуле:

 [v = \max_{x \in [a, b]} \left| \frac{f(x) f''(x)}{(f'(x))^2} \right|] 

где:

• [f(x)] — функция,
• [f'(x)] — первая производная,
• [f''(x)] — вторая производная,
• [x] — берется из граничных значений интервала [a=0] и [b=1].

Шаг 1: Найдём производные функции

Исходная функция:

[f(x) = x^4 + 2x^3 - x - 1]

Первая производная:

 [f'(x) = 4x^3 + 6x^2 - 1] 

Вторая производная:

 [f''(x) = 12x^2 + 12x] 

Шаг 2: Вычислим выражение на концах интервала

При [x = 0]:

• [f(0) = 0 + 0 - 0 - 1 = -1]
• [f'(0) = 0 + 0 - 1 = -1]
• [f''(0) = 0 + 0 = 0]

Подставим в формулу:

 \left| \frac{f(0) f''(0)}{(f'(0))^2} \right| = \left| \frac{(-1) \cdot 0}{(-1)^2} \right| = 0 

При [x = 1]:

• [f(1) = 1 + 2 - 1 - 1 = 1]
• [f'(1) = 4 + 6 - 1 = 9]
• [f''(1) = 12 + 12 = 24]

Подставим в формулу:

 \left| \frac{f(1) f''(1)}{(f'(1))^2} \right| = \left| \frac{1 \cdot 24}{9^2} \right| = \frac{24}{81} \approx 0.296 

Шаг 3: Найдём максимум

 [v = \max(0, 0.296) = 0.296] 

Округляем до двух значащих цифр:

[v \approx 0.30]

Ответ:

[v = 0.30]