Вычислить абсолютное и максимальное относительное число обусловленности матрицы, рассматривая первую норму

Предмет: Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (ЛАУ).

Раздел: Исследование матриц. Число обусловленности матрицы.

Дано задание вычислить абсолютное и максимальное относительное число обусловленности матрицы $\text{(}A\text{)}$, рассматривая первую норму.

Решение:

Матрица $\text{(}A\text{)}$:

$\text{[}A=\left(\begin{array}{cc}4& -4\\ 0& -9\end{array}\right)\text{]}$

1. Определение первой нормы матрицы

Первая норма матрицы — это максимальная сумма абсолютных значений элементов столбцов. Вычислим норму $\text{(}\parallel A{\parallel }_1\text{)}$:

$\text{[}\parallel A{\parallel }_1=max(\sum _{i=1}^2|a_{i1}|,\sum _{i=1}^2|a_{i2}|)\text{]}$

Для первого столбца:

$\text{[}\sum _{i=1}^2|a_{i1}|=|4|+|0|=4\text{]}$

Для второго столбца:

$\text{[}\sum _{i=1}^2|a_{i2}|=|-4|+|-9|=4+9=13\text{]}$

Таким образом:

$\text{[}\parallel A{\parallel }_1=max(4,13)=13\text{]}$

2. Вычисление $\text{(}\parallel A^{-1}{\parallel }_1\text{)}$

Для нахождения числа обусловленности, сначала нужно найти обратную матрицу и её первую норму. Напомним, что обратная матрица $\text{(}{A}^{-1}\text{)}$ находится по следующей формуле для 2x2 матриц:

$\text{[}{A}^{-1}=\frac{1}{det(A)}\cdot \text{adj}(A)\text{]}$

Где $adj(A)$ — присоединённая матрица, состоящая из алгебраических дополнений (транспонированная матрица миноров).

Определитель матрицы $\text{(}A\text{)}$:

$\text{[}det(A)=(4)(-9)-(-4)(0)=-36\text{]}$

Теперь найдем присоединённую матрицу:

$\text{[}\text{adj}(A)=\left(\begin{array}{cc}-9& 4\\ 0& 4\end{array}\right)\text{]}$

Таким образом, обратная матрица:

$\text{[}{A}^{-1}=\frac{1}{-36}\left(\begin{array}{cc}-9& 4\\ 0& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{9}{36}& \frac{-4}{36}\\ 0& \frac{-4}{36}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0.25& -0.11\\ 0& -0.11\end{array}\right)\text{]}$

Теперь найдём её первую норму:

$\text{[}\parallel A^{-1}{\parallel }_1=max(|0.25|+|0|,|-0.11|+|-0.11|)=max(0.25,0.22)=0.25\text{]}$

3. Число обусловленности

Число обусловленности в первой норме определяется как произведение норм матрицы и её обратной:

$\text{[}{\kappa }_1(A)=\parallel A{\parallel }_1\cdot \parallel A^{-1}{\parallel }_1=13\cdot 0.25=3.25\text{]}$

Ответ:

Абсолютное и максимальное относительное число обусловленности матрицы $\text{(}A\text{)}$ в первой норме равно $\text{(}3.25\text{)}$.

К сожалению, в вашем сообщении отсутствует текст с markdown разметкой или формулами. Пожалуйста, предоставьте текст, чтобы я мог выполнить задачу преобразования.