Вычислить абсолютное и максимальное относительное число обусловленности матрицы, рассматривая первую норму

Предмет: Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (ЛАУ).

Раздел: Исследование матриц. Число обусловленности матрицы.

Дано задание вычислить абсолютное и максимальное относительное число обусловленности матрицы \( A \), рассматривая первую норму.

Решение:

Матрица \( A \):

\[ A = \begin{pmatrix} 4 & -4 \\ 0 & -9 \end{pmatrix} \]

1. Определение первой нормы матрицы

Первая норма матрицы — это максимальная сумма абсолютных значений элементов столбцов. Вычислим норму \(\|A\|_1\):

\[ \|A\|_1 = \max \left( \sum_{i=1}^{2} |a_{i1}|, \sum_{i=1}^{2} |a_{i2}| \right) \]

Для первого столбца:

\[ \sum_{i=1}^{2} |a_{i1}| = |4| + |0| = 4 \]

Для второго столбца:

\[ \sum_{i=1}^{2} |a_{i2}| = |-4| + |-9| = 4 + 9 = 13 \]

Таким образом:

\[ \|A\|_1 = \max(4, 13) = 13 \]

2. Вычисление \(\|A^{-1}\|_1\)

Для нахождения числа обусловленности, сначала нужно найти обратную матрицу и её первую норму. Напомним, что обратная матрица \(A^{-1}\) находится по следующей формуле для 2x2 матриц:

\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) \]

Где adj(A) — присоединённая матрица, состоящая из алгебраических дополнений (транспонированная матрица миноров).

Определитель матрицы \( A \):

\[ \det(A) = (4)(-9) - (-4)(0) = -36 \]

Теперь найдем присоединённую матрицу:

\[ \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -9 & 4 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \]

Таким образом, обратная матрица:

\[ A^{-1} = \frac{1}{-36} \begin{pmatrix} -9 & 4 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{9}{36} & \frac{-4}{36} \\ 0 & \frac{-4}{36} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.25 & -0.11 \\ 0 & -0.11 \end{pmatrix} \]

Теперь найдём её первую норму:

\[ \|A^{-1}\|_1 = \max \left( |0.25| + |0|, |-0.11| + |-0.11| \right) = \max(0.25, 0.22) = 0.25 \]

3. Число обусловленности

Число обусловленности в первой норме определяется как произведение норм матрицы и её обратной:

\[ \kappa_1(A) = \|A\|_1 \cdot \|A^{-1}\|_1 = 13 \cdot 0.25 = 3.25 \]

Ответ:

Абсолютное и максимальное относительное число обусловленности матрицы \( A \) в первой норме равно \( 3.25 \).

К сожалению, в вашем сообщении отсутствует текст с markdown разметкой или формулами. Пожалуйста, предоставьте текст, чтобы я мог выполнить задачу преобразования.