Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Дано задание вычислить абсолютное и максимальное относительное число обусловленности матрицы \( A \), рассматривая первую норму.
Матрица \( A \):
\[ A = \begin{pmatrix} 4 & -4 \\ 0 & -9 \end{pmatrix} \]
Первая норма матрицы — это максимальная сумма абсолютных значений элементов столбцов. Вычислим норму \(\|A\|_1\):
\[ \|A\|_1 = \max \left( \sum_{i=1}^{2} |a_{i1}|, \sum_{i=1}^{2} |a_{i2}| \right) \]
Для первого столбца:
\[ \sum_{i=1}^{2} |a_{i1}| = |4| + |0| = 4 \]
Для второго столбца:
\[ \sum_{i=1}^{2} |a_{i2}| = |-4| + |-9| = 4 + 9 = 13 \]
Таким образом:
\[ \|A\|_1 = \max(4, 13) = 13 \]
Для нахождения числа обусловленности, сначала нужно найти обратную матрицу и её первую норму. Напомним, что обратная матрица \(A^{-1}\) находится по следующей формуле для 2x2 матриц:
\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A) \]
Где adj(A) — присоединённая матрица, состоящая из алгебраических дополнений (транспонированная матрица миноров).
Определитель матрицы \( A \):
\[ \det(A) = (4)(-9) - (-4)(0) = -36 \]
Теперь найдем присоединённую матрицу:
\[ \text{adj}(A) = \begin{pmatrix} -9 & 4 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \]
Таким образом, обратная матрица:
\[ A^{-1} = \frac{1}{-36} \begin{pmatrix} -9 & 4 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{9}{36} & \frac{-4}{36} \\ 0 & \frac{-4}{36} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.25 & -0.11 \\ 0 & -0.11 \end{pmatrix} \]
Теперь найдём её первую норму:
\[ \|A^{-1}\|_1 = \max \left( |0.25| + |0|, |-0.11| + |-0.11| \right) = \max(0.25, 0.22) = 0.25 \]
Число обусловленности в первой норме определяется как произведение норм матрицы и её обратной:
\[ \kappa_1(A) = \|A\|_1 \cdot \|A^{-1}\|_1 = 13 \cdot 0.25 = 3.25 \]
Абсолютное и максимальное относительное число обусловленности матрицы \( A \) в первой норме равно \( 3.25 \).