Вычисление количества итераций ( n ) для метода перебора

Предмет: Математика

Раздел: Численные методы

Задача 1: Вычисление количества итераций ( n ) для метода перебора

Для поиска корня методом перебора с заданной точностью (\varepsilon = 0.077) на отрезке ([15, 45]), количество итераций определяется следующим образом:

1. Метод перебора предполагает, что шаг (\Delta x) равен (\varepsilon).
2. Количество шагов ( n ) можно вычислить по формуле:

n = \frac{b - a}{\Delta x} = \frac{45 - 15}{0.077}

Подставим значения:

n = \frac{45 - 15}{0.077} = \frac{30}{0.077} \approx 389.61

Так как количество итераций должно быть целым числом, округляем результат вверх:

n = 390

Ответ: ( n = 390 ).

Задача 2: Вычисление абсолютной и относительной погрешности вектора

Даны точный вектор:

\mathbf{x} = (-7, -1, 7)^T

и его приближение:

\tilde{\mathbf{x}} = (-6.58, -0.85, 8.47)^T.

Абсолютная погрешность

Абсолютная погрешность рассчитывается как норма разности векторов:

\|\Delta \mathbf{x}\|_1 = \|\mathbf{x} - \tilde{\mathbf{x}}\|_1 = \sum_{i=1}^n |x_i - \tilde{x}_i|.

Выполним поэлементное вычитание и возьмём модули:

 |x_1 - \tilde{x}_1| = |-7 - (-6.58)| = |-0.42| = 0.42, \ |x_2 - \tilde{x}_2| = |-1 - (-0.85)| = |-0.15| = 0.15, \ |x_3 - \tilde{x}_3| = |7 - 8.47| = |-1.47| = 1.47. 

Суммируем:

\|\Delta \mathbf{x}\|_1 = 0.42 + 0.15 + 1.47 = 2.04.

Относительная погрешность

Относительная погрешность рассчитывается как отношение абсолютной погрешности к норме точного вектора:

\delta = \frac{\|\Delta \mathbf{x}\|_1}{\|\mathbf{x}\|_1}, \quad \|\mathbf{x}\|_1 = \sum_{i=1}^n |x_i|.

Вычислим норму точного вектора:

\|\mathbf{x}\|_1 = |-7| + |-1| + |7| = 7 + 1 + 7 = 15.

Теперь найдём относительную погрешность:

\delta = \frac{2.04}{15} \approx 0.136.

Ответ:

Абсолютная погрешность: 2.04.
Относительная погрешность: 0.14.