Решить задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка с начальным условием

Задание относится к предмету "Математика", а конкретнее – к разделу "Численные методы решения дифференциальных уравнений".

В данном случае, необходимо решить задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка с начальным условием. В задаче просят применить численные методы решения: метод Эйлера, модифицированный метод Эйлера и метод Рунге-Кутта.

Условие:

\[ y' = y - 7x, \quad y(3) = 3, \quad x \in [3, 5], \quad h = 0.5 \]

1. Метод Эйлера

Основная формула классического метода Эйлера для численного решения дифференциального уравнения:

\[ y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n), \] где \( f(x, y) \) – правая часть дифференциального уравнения.

Шаг 1. Начальные значения:

\[ x_0 = 3, \quad y_0 = 3 \]

Шаг 2. Вычисления методом Эйлера:

Функция \( f(x, y) = y - 7x \).

1. \( x_1 = x_0 + h = 3 + 0.5 = 3.5 \)

   \[ y_1 = y_0 + h \cdot f(x_0, y_0) = 3 + 0.5 \cdot (3 - 7 \cdot 3) = 3 + 0.5 \cdot (3 - 21) = 3 + 0.5 \cdot (-18) = 3 - 9 = -6 \]

2. \( x_2 = x_1 + h = 3.5 + 0.5 = 4 \)

   \[ y_2 = y_1 + h \cdot f(x_1, y_1) = -6 + 0.5 \cdot (-6 - 7 \cdot 3.5) = -6 + 0.5 \cdot (-6 - 24.5) = -6 + 0.5 \cdot (-30.5) = -6 - 15.25 = -21.25 \]

3. \( x_3 = x_2 + h = 4 + 0.5 = 4.5 \)

   \[ y_3 = y_2 + h \cdot f(x_2, y_2) = -21.25 + 0.5 \cdot (-21.25 - 7 \cdot 4) = -21.25 + 0.5 \cdot (-21.25 - 28) = -21.25 + 0.5 \cdot (-49.25) = -21.25 - 24.625 = -45.875 \]

4. \( x_4 = x_3 + h = 4.5 + 0.5 = 5 \)

   \[ y_4 = y_3 + h \cdot f(x_3, y_3) = -45.875 + 0.5 \cdot (-45.875 - 7 \cdot 4.5) = -45.875 + 0.5 \cdot (-45.875 - 31.5) = -45.875 + 0.5 \cdot (-77.375) = -45.875 - 38.6875 = -84.5625 \]

2. Реализация в Excel

Основные шаги для реализации метода Эйлера в Excel:

1. Введите заданные значения: \( x_0 = 3 \), \( y_0 = 3 \), \( h = 0.5 \).
2. Используйте ячейки для создания таблицы по итерациям:
   • В одной колонке задайте значения \( x \) (шаг 0.5).
   • В другой колонке – значения \( y \), которые рассчитываются по формуле Эйлера.
3. Используйте функции Excel для автоматизации подсчета. Формулы можно задать в виде:
   • \( x_{n+1} = x_n + h \)
   • \( y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n) \)
4. Проведите итерации по тем же шагам, которые были показаны выше.

3. Итоги

Метод Эйлера дал следующие значения решения на каждом шаге:

• При \( x = 3.5 \), \( y = -6 \),
• При \( x = 4 \), \( y = -21.25 \),
• При \( x = 4.5 \), \( y = -45.875 \),
• При \( x = 5 \), \( y = -84.5625 \).

Аналогично можно решить задачу с использованием модифицированного метода Эйлера и метода Рунге-Кутта, если это требуется по заданию.