Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Методом Эйлера найти пять значений функции у, определяемой уравнением y^'=2у/х, при начальном условии у(1)=1, полагая h=0,2. Постройте ломаную.
Предмет: Математика
Раздел: Численные методы (Численное решение дифференциальных уравнений)
Решить задачу Коши для дифференциального уравнения методом Эйлера:
Дано уравнение:
y' = \frac{2y}{x},
начальное условие: y(1) = 1,
шаг: h = 0.2
Найти 5 значений функции y в точках:
x_0 = 1,
x_1 = 1.2,
x_2 = 1.4,
x_3 = 1.6,
x_4 = 1.8,
x_5 = 2.0
Метод Эйлера используется для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений начального значения. Формула метода Эйлера:
y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n),
где
x_0 = 1,
y_0 = 1
f(x_0, y_0) = \frac{2 \cdot 1}{1} = 2
y_1 = y_0 + h \cdot f = 1 + 0.2 \cdot 2 = 1.4
x_1 = 1.2,
y_1 = 1.4
f(x_1, y_1) = \frac{2 \cdot 1.4}{1.2} = \frac{2.8}{1.2} \approx 2.333
y_2 = y_1 + h \cdot f \approx 1.4 + 0.2 \cdot 2.333 \approx 1.4 + 0.4667 = 1.8667
x_2 = 1.4,
y_2 \approx 1.8667
f(x_2, y_2) = \frac{2 \cdot 1.8667}{1.4} \approx \frac{3.7334}{1.4} \approx 2.6667
y_3 = y_2 + h \cdot f \approx 1.8667 + 0.2 \cdot 2.6667 \approx 1.8667 + 0.5333 = 2.4
x_3 = 1.6,
y_3 = 2.4
f(x_3, y_3) = \frac{2 \cdot 2.4}{1.6} = \frac{4.8}{1.6} = 3
y_4 = y_3 + h \cdot f = 2.4 + 0.2 \cdot 3 = 2.4 + 0.6 = 3.0
x_4 = 1.8,
y_4 = 3.0
f(x_4, y_4) = \frac{2 \cdot 3.0}{1.8} = \frac{6.0}{1.8} \approx 3.333
y_5 = y_4 + h \cdot f \approx 3.0 + 0.2 \cdot 3.333 \approx 3.0 + 0.6667 = 3.6667
При помощи метода Эйлера получаем следующие приближённые значения функции y(x):
x | y |
---|---|
1.0 | 1.0 |
1.2 | 1.4 |
1.4 | 1.8667 |
1.6 | 2.4 |
1.8 | 3.0 |
2.0 | 3.6667 |
Ломаная линия строится по точкам:
Соедините эти точки отрезками на координатной плоскости, чтобы получить график приближённого решения.
Если нужна визуализация графика — могу помочь построить её с помощью Python (например, matplotlib).