Решить задачу Коши для дифференциального уравнения методом Эйлера

Предмет: Математика
Раздел: Численные методы (Численное решение дифференциальных уравнений)

Задание:

Решить задачу Коши для дифференциального уравнения методом Эйлера:

Дано уравнение:

y' = \frac{2y}{x},
начальное условие: y(1) = 1,
шаг: h = 0.2

Найти 5 значений функции y в точках:
x_0 = 1,
x_1 = 1.2,
x_2 = 1.4,
x_3 = 1.6,
x_4 = 1.8,
x_5 = 2.0

Метод Эйлера:

Метод Эйлера используется для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений начального значения. Формула метода Эйлера:

y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n),

где

• f(x, y) = \frac{2y}{x} — правая часть уравнения,
• h = 0.2 — шаг,
• (x_0, y_0) = (1, 1) — начальное условие.

Шаг за шагом:

Шаг 0:

x_0 = 1,
y_0 = 1
f(x_0, y_0) = \frac{2 \cdot 1}{1} = 2
y_1 = y_0 + h \cdot f = 1 + 0.2 \cdot 2 = 1.4

Шаг 1:

x_1 = 1.2,
y_1 = 1.4
f(x_1, y_1) = \frac{2 \cdot 1.4}{1.2} = \frac{2.8}{1.2} \approx 2.333
y_2 = y_1 + h \cdot f \approx 1.4 + 0.2 \cdot 2.333 \approx 1.4 + 0.4667 = 1.8667

Шаг 2:

x_2 = 1.4,
y_2 \approx 1.8667
f(x_2, y_2) = \frac{2 \cdot 1.8667}{1.4} \approx \frac{3.7334}{1.4} \approx 2.6667
y_3 = y_2 + h \cdot f \approx 1.8667 + 0.2 \cdot 2.6667 \approx 1.8667 + 0.5333 = 2.4

Шаг 3:

x_3 = 1.6,
y_3 = 2.4
f(x_3, y_3) = \frac{2 \cdot 2.4}{1.6} = \frac{4.8}{1.6} = 3
y_4 = y_3 + h \cdot f = 2.4 + 0.2 \cdot 3 = 2.4 + 0.6 = 3.0

Шаг 4:

x_4 = 1.8,
y_4 = 3.0
f(x_4, y_4) = \frac{2 \cdot 3.0}{1.8} = \frac{6.0}{1.8} \approx 3.333
y_5 = y_4 + h \cdot f \approx 3.0 + 0.2 \cdot 3.333 \approx 3.0 + 0.6667 = 3.6667

Ответ:

При помощи метода Эйлера получаем следующие приближённые значения функции y(x):

Построение ломаной:

Ломаная линия строится по точкам:

• (1.0, 1.0)
• (1.2, 1.4)
• (1.4, 1.8667)
• (1.6, 2.4)
• (1.8, 3.0)
• (2.0, 3.6667)

Соедините эти точки отрезками на координатной плоскости, чтобы получить график приближённого решения.

Если нужна визуализация графика — могу помочь построить её с помощью Python (например, matplotlib).