Решить уравнение методом простой итерации с точностью до 0.01

Предмет: Численные методы

Раздел: Решение нелинейных уравнений численными методами

Метод: Простая итерация

Задание:

Решить уравнение \(x^3 + x - 3 = 0\) методом простой итерации с точностью до 0.01.

Шаг 1: Преобразование уравнения

Чтобы использовать метод простой итерации, необходимо записать уравнение в виде \(x = \varphi(x)\). Перепишем исходное уравнение так, чтобы с одной стороны осталось выражение для \(x\):

\[ x = (3 - x^3) \]

Шаг 2: Реализация метода простой итерации в Excel

1. Откройте Excel и введите в первую строку следующее:
   • В ячейку A1: \( \text{"x"} \)
   • В ячейку B1: \( \text{"f(x)"} \)
2. В ячейку A2 введите начальное приближение. Предположим, что начальное приближение будет \( x_0 = 1 \).
3. В ячейку B2 введите формулу для \( f(x) = 3 - x^3 \). Используя Excel:

=3 - A2^3

4. В ячейку A3 введите ссылку на значение из ячейки B2, т.е. новое значение \(x\):

=B2

5. В ячейку B3 скопируйте формулу для расчета \( f(x) \):

=3 - A3^3

6. Продолжайте копирование этих формул по столбцам, создавая цикл обновления значений \(x\).

Шаг 3: Критерий сходимости

Сходимость и завершение итераций нужно контролировать по разнице между значениями на очередных шагах: \(|x_{i+1} - x_i| < \varepsilon\), где \(\varepsilon = 0.01\).

В Excel можно добавить столбец, где будет вычисляться разница между текущим и предыдущим значениями. В ячейке C3 можно ввести формулу для вычисления разницы:

=ABS(A3 - A2)

Итак, когда значения в столбце C станут меньше 0.01, процесс можно остановить.

Примечание:

Убедитесь, что выбранная функция \( \varphi(x) = 3 - x^3 \) сходится в изначально выбранном интервале. Если итерации не сходятся, стоит попробовать другое начальное приближение или перенести выражение в другой вид.

Итог:

Таким образом, при правильной реализации и выполнении итераций в Excel число \(x\), при котором уравнение будет удовлетворять условию точности \(0.01\), можно будет найти.