Решить уравнение численно используя метод ньютона

Предмет: Математика

Раздел: Численные методы (Метод Ньютона)

Нам дано уравнение y = x^7_7 + 7x + 17_x - \frac{1}{x}. Чтобы решить его численно методом Ньютона, нужно выполнить следующие шаги:

Шаг 1. Уточним уравнение

В данном выражении есть некоторые неоднозначности записи. Я предполагаю, что уравнение можно переписать как: f(x) = x^7 + 7x + \frac{17}{x} - \frac{1}{x} = 0.

Если это не так, уточните формулировку.

Шаг 2. Метод Ньютона

Метод Ньютона используется для нахождения корней уравнения f(x) = 0. Он итеративен и основан на формуле: x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)},
где f'(x) — производная функции f(x).

Шаг 3. Найдём производную функции

Функция: f(x) = x^7 + 7x + \frac{17}{x} - \frac{1}{x}.

Её производная: f'(x) = 7x^6 + 7 - \frac{17}{x^2} + \frac{1}{x^2} = 7x^6 + 7 - \frac{16}{x^2}.

Шаг 4. Итерационный процесс

1. Выберите начальное приближение x_0. Оно должно быть достаточно близким к предполагаемому корню.
2. Вычисляйте последовательно x_{n+1} по формуле метода Ньютона: x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
3. Останавливайтесь, когда разница между x_n и x_{n+1} станет меньше заданной точности \varepsilon.

Шаг 5. Пример численного решения

Для численного решения воспользуемся Python. Предположим, начальное приближение x_0 = 1.5 и точность \varepsilon = 10^{-6}.

import sympy as sp

# Определяем функцию и её производную
x = sp.symbols('x')
f = x**7 + 7*x + 17/x - 1/x
f_prime = sp.diff(f, x)

# Преобразуем в функции для вычислений
f_func = sp.lambdify(x, f, 'numpy')
f_prime_func = sp.lambdify(x, f_prime, 'numpy')

# Метод Ньютона
def newton_method(x0, tol=1e-6, max_iter=100):
    xn = x0
    for _ in range(max_iter):
        fxn = f_func(xn)
        fpxn = f_prime_func(xn)
        if abs(fpxn) < tol:  # Проверка на деление на ноль
            raise ValueError("Производная близка к нулю")
        xn_next = xn - fxn / fpxn
        if abs(xn_next - xn) < tol:  # Условие остановки
            return xn_next
        xn = xn_next
    raise ValueError("Метод Ньютона не сошелся")

# Начальное приближение
x0 = 1.5
root = newton_method(x0)
print(f"Найденный корень: {root}")

Шаг 6. Интерпретация результата

Этот код численно найдёт корень уравнения с использованием метода Ньютона. Убедитесь, что начальное приближение x_0 выбрано так, чтобы метод сходился (это зависит от вида функции). Если уравнение имеет несколько корней, метод Ньютона найдёт ближайший к x_0.