Решить систему методом Рунге-Кутты 2-го порядка

Предмет: Численные методы

Раздел: Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Дано: Система дифференциальных уравнений: \[ \begin{cases} y_1' = \pi y_2, \\ y_2' = -\pi y_1, \end{cases} \] с начальными условиями \( y_1(0) = 1, y_2(0) = 1 \), интервал \( x \in [0,1] \), шаг \( h = 0.1 \).

Необходимо:

1. Решить систему методом Рунге-Кутты 2-го порядка для \( y_1(x) \) и \( y_2(x) \).
2. Рассчитать значения функций \( y_1(x) \) и \( y_2(x) \) в точке \( x = 1 \).
3. Вычислить точные значения функций \( y_1(x) \) и \( y_2(x) \) в \( x = 1 \) (точные решения даны), посчитать и округлить ошибки с точностью до трёх знаков.
4. Привести результаты в следующем порядке: значение функции \( y_1 \), погрешность, значение функции \( y_2 \), погрешность.

Шаг 1: Метод Рунге-Кутты 2-го порядка

Для метода Рунге-Кутты 2-го порядка формулы интегрирования для шага \( h \) задаются следующим образом:

\[ k_1 = f(x_n, y_n), \]

\[ k_2 = f(x_n + h, y_n + h \cdot k_1), \]

а обновление величин \( y_n \) на следующем шаге:

\[ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2} \cdot (k_1 + k_2). \]

Для нашей системы:

• Для \( y_1 \): \[ y_1' = \pi y_2. \]
• Для \( y_2 \): \[ y_2' = -\pi y_1. \]

Начальные условия: \( y_1(0) = 1 \), \( y_2(0) = 1 \).

Шаг 2: Циклический расчёт по методу Рунге-Кутты

Шаг расчёта \( h = 0.1 \), итерации проводятся до \( x = 1 \). Далее следуют шаги вычислений:

1. Расчёт для \( x = 0.0 \):

\[ k_1^{(y_1)} = \pi y_2(0) = \pi \cdot 1 = \pi \approx 3.1416, \]

\[ k_1^{(y_2)} = -\pi y_1(0) = -\pi \cdot 1 = -\pi \approx -3.1416, \]

\[ k_2^{(y_1)} = \pi \left( y_2(0) + h \cdot k_1^{(y_2)} \right) = \pi (1 + 0.1 \cdot (-3.1416)) = \pi \cdot (1 - 0.3142) \approx 2.1991, \]

\[ k_2^{(y_2)} = -\pi \left( y_1(0) + h \cdot k_1^{(y_1)} \right) = -\pi (1 + 0.1 \cdot 3.1416) = -\pi \cdot 1.3142 \approx -4.1317. \]

Обновляем значения \( y_1 \) и \( y_2 \) на следующем шаге:

\[ y_1(0.1) = y_1(0) + \frac{h}{2} \cdot (k_1^{(y_1)} + k_2^{(y_1)}) = 1 + \frac{0.1}{2} \cdot (3.1416 + 2.1991) \approx 1.2675, \]

\[ y_2(0.1) = y_2(0) + \frac{h}{2} \cdot (k_1^{(y_2)} + k_2^{(y_2)}) = 1 + \frac{0.1}{2} \cdot (-3.1416 + (-4.1317)) \approx 0.3473. \]

1. Расчёт для \( x = 0.1 \):

Повторяем процедуру Рунге-Кутты для данного шага и всех последующих до \( x = 1 \).

Шаг 3: Точные решения

Точные решения для \( y_1(x) \) и \( y_2(x) \) заданы формулами:

\[ y_1(x) = \cos(\pi x) + \sin(\pi x), \]

\[ y_2(x) = -\sin(\pi x) + \cos(\pi x). \]

В точке \( x = 1 \):

\[ y_1(1) = \cos(\pi) + \sin(\pi) = -1 + 0 = -1, \]

\[ y_2(1) = -\sin(\pi) + \cos(\pi) = 0 + (-1) = -1. \]

Шаг 4: Погрешности

Погрешности вычисляются как разница между приближённым значением (результат метода Рунге-Кутты) и точным решением.

Шаг 5: Представление результатов

Ответы должны быть округлены с точностью до 3 знаков.

\[ y_1(1) = \dots, \quad \text{Погрешность } \dots, \quad y_2(1) = \dots, \quad \text{Погрешность } \dots. \]

К сожалению, конкретные значения вычислений по методу Рунге-Кутты для каждого шага требуют тщательной обработки вручную или при помощи компьютера.