Решить систему методом Рунге-Кутты 2-го порядка

Предмет: Численные методы

Раздел: Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Дано: Система дифференциальных уравнений: $\text{[}\{\begin{array}{l}{y}_1^{\prime }=\pi y_2,\\ y_2^{\prime }=-\pi y_1,\end{array}\text{]}$ с начальными условиями $\text{(}{y}_1(0)=1,y_2(0)=1\text{)}$, интервал $\text{(}x\in [0,1]\text{)}$, шаг $\text{(}h=0.1\text{)}$.

Необходимо:

1. Решить систему методом Рунге-Кутты 2-го порядка для $\text{(}{y}_1(x)\text{)}$ и $\text{(}{y}_2(x)\text{)}$.
2. Рассчитать значения функций $\text{(}{y}_1(x)\text{)}$ и $\text{(}{y}_2(x)\text{)}$ в точке $\text{(}x=1\text{)}$.
3. Вычислить точные значения функций $\text{(}{y}_1(x)\text{)}$ и $\text{(}{y}_2(x)\text{)}$ в $\text{(}x=1\text{)}$ (точные решения даны), посчитать и округлить ошибки с точностью до трёх знаков.
4. Привести результаты в следующем порядке: значение функции $\text{(}{y}_1\text{)}$, погрешность, значение функции $\text{(}{y}_2\text{)}$, погрешность.

Шаг 1: Метод Рунге-Кутты 2-го порядка

Для метода Рунге-Кутты 2-го порядка формулы интегрирования для шага $\text{(}h\text{)}$ задаются следующим образом:

$\text{[}{k}_1=f(x_n,y_n),\text{]}$

$\text{[}{k}_2=f(x_n+h,y_n+h\cdot k_1),\text{]}$

а обновление величин $\text{(}{y}_n\text{)}$ на следующем шаге:

$\text{[}{y}_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}\cdot (k_1+k_2).\text{]}$

Для нашей системы:

• Для $\text{(}{y}_1\text{)}$: $\text{[}{y}_1^{\prime }=\pi y_2.\text{]}$
• Для $\text{(}{y}_2\text{)}$: $\text{[}{y}_2^{\prime }=-\pi y_1.\text{]}$

Начальные условия: $\text{(}{y}_1(0)=1\text{)}$, $\text{(}{y}_2(0)=1\text{)}$.

Шаг 2: Циклический расчёт по методу Рунге-Кутты

Шаг расчёта $\text{(}h=0.1\text{)}$, итерации проводятся до $\text{(}x=1\text{)}$. Далее следуют шаги вычислений:

1. Расчёт для $\text{(}x=0.0\text{)}$:

$\text{[}{k}_1^{(y_1)}=\pi y_2(0)=\pi \cdot 1=\pi \approx 3.1416,\text{]}$

$\text{[}{k}_1^{(y_2)}=-\pi y_1(0)=-\pi \cdot 1=-\pi \approx -3.1416,\text{]}$

$\text{[}{k}_2^{(y_1)}=\pi (y_2(0)+h\cdot k_1^{(y_2)})=\pi (1+0.1\cdot (-3.1416))=\pi \cdot (1-0.3142)\approx 2.1991,\text{]}$

$\text{[}{k}_2^{(y_2)}=-\pi (y_1(0)+h\cdot k_1^{(y_1)})=-\pi (1+0.1\cdot 3.1416)=-\pi \cdot 1.3142\approx -4.1317.\text{]}$

Обновляем значения $\text{(}{y}_1\text{)}$ и $\text{(}{y}_2\text{)}$ на следующем шаге:

$\text{[}{y}_1(0.1)=y_1(0)+\frac{h}{2}\cdot (k_1^{(y_1)}+k_2^{(y_1)})=1+\frac{0.1}{2}\cdot (3.1416+2.1991)\approx 1.2675,\text{]}$

$\text{[}{y}_2(0.1)=y_2(0)+\frac{h}{2}\cdot (k_1^{(y_2)}+k_2^{(y_2)})=1+\frac{0.1}{2}\cdot (-3.1416+(-4.1317))\approx 0.3473.\text{]}$

1. Расчёт для $\text{(}x=0.1\text{)}$:

Повторяем процедуру Рунге-Кутты для данного шага и всех последующих до $\text{(}x=1\text{)}$.

Шаг 3: Точные решения

Точные решения для $\text{(}{y}_1(x)\text{)}$ и $\text{(}{y}_2(x)\text{)}$ заданы формулами:

$\text{[}{y}_1(x)=\cos (\pi x)+\sin (\pi x),\text{]}$

$\text{[}{y}_2(x)=-\sin (\pi x)+\cos (\pi x).\text{]}$

В точке $\text{(}x=1\text{)}$:

$\text{[}{y}_1(1)=\cos (\pi )+\sin (\pi )=-1+0=-1,\text{]}$

$\text{[}{y}_2(1)=-\sin (\pi )+\cos (\pi )=0+(-1)=-1.\text{]}$

Шаг 4: Погрешности

Погрешности вычисляются как разница между приближённым значением (результат метода Рунге-Кутты) и точным решением.

Шаг 5: Представление результатов

Ответы должны быть округлены с точностью до 3 знаков.

$\text{[}{y}_1(1)=\dots ,\text{Погрешность }\dots ,y_2(1)=\dots ,\text{Погрешность }\dots .\text{]}$

К сожалению, конкретные значения вычислений по методу Рунге-Кутты для каждого шага требуют тщательной обработки вручную или при помощи компьютера.