Решить систему дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта первого порядка

Предмет: Численные методы

Раздел: Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)

Задание:

Нам необходимо решить систему дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта первого порядка (метод Эйлера) на интервале \( [0,1] \) с шагом \( h = 0.1 \), и затем сравнить приближённые решения с точными.

Система дифференциальных уравнений:

\[ \begin{cases} y_1' = \pi y_2, \\ y_2' = -\pi y_1, \end{cases} \qquad \text{при начальных условиях} \ \ y_1(0) = 1, \ y_2(0) = 1. \]

Интервал:

\( x \in [0, 1] \), шаг \( h = 0.1 \).

Шаг 1: Метод Рунге-Кутта 1-го порядка (Метод Эйлера)

Для системы дифференциальных уравнений метод Рунге-Кутта 1-го порядка (метод Эйлера) имеет следующую форму:

\[ y_1(x+h) = y_1(x) + h f_1(x, y_1, y_2), \]

\[ y_2(x+h) = y_2(x) + h f_2(x, y_1, y_2), \]

где \( f_1(x, y_1, y_2) = \pi y_2 \), а \( f_2(x, y_1, y_2) = -\pi y_1 \).

Начальные условия: \( y_1(0) = 1 \), \( y_2(0) = 1 \), шаг \( h = 0.1 \), и будем вычислять значения функций на точках \( x = 0, 0.1, 0.2, ..., 1 \).

Шаг 2: Вычисления

Для каждой итерации \( x = x_0, x_1, \dots, x_n \), где \( x_0 = 0 \), \( x_1 = 0.1 \), ...

На шаге \( x = 0 \):

\[ y_1(0) = 1, \quad y_2(0) = 1 \]

Применим метод Эйлера:

\[ y_1(0.1) = y_1(0) + h \cdot \pi \cdot y_2(0) = 1 + 0.1 \cdot \pi \cdot 1 = 1 + 0.1 \pi \]

\[ y_1(0.1) = 1 + 0.1 \cdot 3.1416 ≈ 1.31416 \]

\[ y_2(0.1) = y_2(0) + h \cdot (-\pi) \cdot y_1(0) = 1 + 0.1 \cdot (-\pi) \cdot 1 = 1 - 0.1 \pi \]

\[ y_2(0.1) = 1 - 0.31416 ≈ 0.68584 \]

На шаге \( x = 0.1 \):

\[ y_1(0.2) = y_1(0.1) + h \cdot \pi \cdot y_2(0.1) = 1.31416 + 0.1 \cdot \pi \cdot 0.68584 \]

\[ y_1(0.2) ≈ 1.31416 + 0.21548 \approx 1.52964 \]

\[ y_2(0.2) = y_2(0.1) + h \cdot (-\pi) \cdot y_1(0.1) = 0.68584 + 0.1 \cdot (-\pi) \cdot 1.31416 \]

\[ y_2(0.2) ≈ 0.68584 - 0.41284 \approx 0.27300 \]

… и так далее до \( x = 1 \).

После выполнения всех шагов вычислений, получим приближённые значения для \( y_1(1) \) и \( y_2(1) \) методом Эйлера.

Шаг 3: Точное решение

Точные решения для данного ОДУ указаны в задаче:

\[ y_1(x) = \cos(\pi x) + \sin(\pi x), \]

\[ y_2(x) = -\sin(\pi x) + \cos(\pi x). \]

\[ y_1(1) = \cos(\pi) + \sin(\pi) = -1 + 0 = -1, \]

\[ y_2(1) = -\sin(\pi) + \cos(\pi) = 0 - 1 = -1. \]

Шаг 4: Вычисление погрешности

Погрешность можно вычислить как разность между приближённым значением и точным решением для каждой из функций.

Шаг 5: Ответ

Предоставляем ответ в формате:

1. Значение функции \( y_1(1) \) (приближённое значение),
2. Погрешность для \( y_1(1) \),
3. Значение функции \( y_2(1) \) (приближённое значение),
4. Погрешность для \( y_2(1) \).

Рассчитав все приближённые значения и погрешности, предоставляем полученные значения с тремя значащими цифрами.

Для \( x = 1 \):