Решить методом Рунге – Кутты 4-го порядка уравнение

Предмет: Численные методы
Раздел: Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)

Мы решаем задачу методом Рунге-Кутты 4-го порядка для обыкновенного дифференциального уравнения. В дополнение, вычислим погрешность между приближенным и точным решением.

Уравнение:
y' = \frac{2}{x}y + x, \quad x \in [1, 1.5], \quad y(1) = 0
Шаг метода: h = 0.05
Точное решение: y(x) = x^2 \ln(x)

1. Метод Рунге-Кутты 4-го порядка

Формула метода Рунге-Кутты 4-го порядка для приближенного решения ОДУ:
 y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4), 
где:
 k_1 = f(x_n, y_n), 
 k_2 = f\left(x_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2}k_1\right), 
 k_3 = f\left(x_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{h}{2}k_2\right), 
 k_4 = f(x_n + h, y_n + hk_3). 

Здесь правая часть уравнения f(x, y) = \frac{2}{x}y + x.

2. Решение задачи

Начальные условия: x_0 = 1, y_0 = 0.
Шаг h = 0.05.
Найдем значения y в точках x = 1.05, 1.10, \dots, 1.50.

Шаг 1: x = 1.05

1. k_1 = f(1, 0) = \frac{2}{1} \cdot 0 + 1 = 1
2. k_2 = f\left(1 + \frac{0.05}{2}, 0 + \frac{0.05}{2} \cdot 1\right) = f(1.025, 0.025) = \frac{2}{1.025} \cdot 0.025 + 1.025 \approx 1.07561
3. k_3 = f\left(1.025, 0 + \frac{0.05}{2} \cdot 1.07561\right) = f(1.025, 0.02689) = \frac{2}{1.025} \cdot 0.02689 + 1.025 \approx 1.07752
4. k_4 = f(1.05, 0 + 0.05 \cdot 1.07752) = f(1.05, 0.05388) = \frac{2}{1.05} \cdot 0.05388 + 1.05 \approx 1.10513

Теперь вычислим y_1:
 y_1 = 0 + \frac{0.05}{6}(1 + 2 \cdot 1.07561 + 2 \cdot 1.07752 + 1.10513) \approx 0.05377. 

Шаг 2: x = 1.10

1. k_1 = f(1.05, 0.05377) = \frac{2}{1.05} \cdot 0.05377 + 1.05 \approx 1.10513
2. k_2 = f\left(1.075, 0.05377 + \frac{0.05}{2} \cdot 1.10513\right) = f(1.075, 0.08140) = \frac{2}{1.075} \cdot 0.08140 + 1.075 \approx 1.15646
3. k_3 = f\left(1.075, 0.05377 + \frac{0.05}{2} \cdot 1.15646\right) = f(1.075, 0.08269) = \frac{2}{1.075} \cdot 0.08269 + 1.075 \approx 1.15802
4. k_4 = f(1.10, 0.05377 + 0.05 \cdot 1.15802) = f(1.10, 0.11167) = \frac{2}{1.10} \cdot 0.11167 + 1.10 \approx 1.21212

Теперь вычислим y_2:
 y_2 = 0.05377 + \frac{0.05}{6}(1.10513 + 2 \cdot 1.15646 + 2 \cdot 1.15802 + 1.21212) \approx 0.11162. 

Повторяем процесс до x = 1.5.

3. Точное решение

Точное решение: y(x) = x^2 \ln(x).
В точке x = 1.5:
 y_{\text{точное}} = (1.5)^2 \ln(1.5) \approx 0.60810. 

4. Погрешность

Погрешность вычисляется как разность между точным и приближенным значениями:
 \text{Погрешность} = |y_{\text{точное}} - y_{\text{приближенное}}|. 

После выполнения всех шагов методом Рунге-Кутты, мы получим y_{\text{приближенное}} в точке x = 1.5 и вычислим погрешность.

Итог

Выполним вычисления и представим результат в формате x \cdot 10^{-7}.