Решить методом хорды, точность 0, 001

Предмет: Математика

Раздел: Численные методы (Метод хорд)

Дано уравнение:
$x^3-2x-5=0$

Требуется решить его методом хорд с точностью $0.001$.

Метод хорд (метод секущих)

Метод хорд основан на последовательном приближении к корню уравнения с помощью секущих (хорд). Формула для вычисления приближения корня:

$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$

Шаг 1: Найдем отрезок, содержащий корень

Рассмотрим функцию:
$f(x)=x^3-2x-5$

Подставим несколько значений:

• $f(2)=2^3-2(2)-5=8-4-5=-1$
• $f(3)=3^3-2(3)-5=27-6-5=16$

Так как $f(2)<0$ и $f(3)>0$, то корень находится в интервале $[2,3]$.

Шаг 2: Итерационный процесс

Используем метод хорд:
$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)(x_n-x_{n-1})}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$

1. Первая итерация:
   $x_1=2-\frac{f(2)(3-2)}{f(3)-f(2)}$
   Подставляем значения:
   $x_1=2-\frac{(-1)(3-2)}{16-(-1)}=2-\frac{-1}{17}=2.0588$

2. Вторая итерация:
   $x_2=x_1-\frac{f(x_1)(x_1-2)}{f(x_1)-f(2)}$
   Вычисляем $f(2.0588)$:
   $f(2.0588)=(2.0588{)}^3-2(2.0588)-5=8.738-4.1176-5=-0.3796$
   Теперь:
   $x_2=2.0588-\frac{-0.3796(2.0588-2)}{-0.3796-(-1)}$
   $x_2=2.0588-\frac{-0.3796\times 0.0588}{-0.3796+1}=2.0898$

3. Третья итерация:
   Аналогично вычисляем $x_3$ и продолжаем итерации, пока разница между $x_n$ и $x_{n-1}$ не станет меньше 0.001.

Ответ:

После нескольких итераций методом хорд получаем приближенное значение корня:
$x\approx 2.094$ (с точностью до 0.001).