Решить методом хорды, точность 0, 001

Предмет: Математика

Раздел: Численные методы (Метод хорд)

Дано уравнение:
x^3 - 2x - 5 = 0

Требуется решить его методом хорд с точностью 0.001.

Метод хорд (метод секущих)

Метод хорд основан на последовательном приближении к корню уравнения с помощью секущих (хорд). Формула для вычисления приближения корня:

 x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n) (x_n - x_{n-1})}{f(x_n) - f(x_{n-1})} 

Шаг 1: Найдем отрезок, содержащий корень

Рассмотрим функцию:
f(x) = x^3 - 2x - 5

Подставим несколько значений:

• f(2) = 2^3 - 2(2) - 5 = 8 - 4 - 5 = -1
• f(3) = 3^3 - 2(3) - 5 = 27 - 6 - 5 = 16

Так как f(2) < 0 и f(3) > 0, то корень находится в интервале [2, 3].

Шаг 2: Итерационный процесс

Используем метод хорд:
 x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n) (x_n - x_{n-1})}{f(x_n) - f(x_{n-1})} 

1. Первая итерация:
    x_1 = 2 - \frac{f(2) (3 - 2)}{f(3) - f(2)} 
   Подставляем значения:
    x_1 = 2 - \frac{(-1) (3 - 2)}{16 - (-1)} = 2 - \frac{-1}{17} = 2.0588 

2. Вторая итерация:
    x_2 = x_1 - \frac{f(x_1) (x_1 - 2)}{f(x_1) - f(2)} 
   Вычисляем f(2.0588):
    f(2.0588) = (2.0588)^3 - 2(2.0588) - 5 = 8.738 - 4.1176 - 5 = -0.3796 
   Теперь:
    x_2 = 2.0588 - \frac{-0.3796 (2.0588 - 2)}{-0.3796 - (-1)} 
    x_2 = 2.0588 - \frac{-0.3796 \times 0.0588}{-0.3796 + 1} = 2.0898 

3. Третья итерация:
   Аналогично вычисляем x_3 и продолжаем итерации, пока разница между x_n и x_{n-1} не станет меньше 0.001.

Ответ:

После нескольких итераций методом хорд получаем приближенное значение корня:
x \approx 2.094 (с точностью до 0.001).